Question

$\frac{d}{dx} x^{2} + \int\ {2x^{3} } \, dx * \lim_{n \to \00} \frac{ n-(5^{3} -25 )}{n+n+5}$

EU JÁ SEI A RESPOSTA, MAS ESTOU TESTANDO QUEM SABE UM POUCO DE CÁCULO, ENTÃO QUEM ESTIVER CERTO VAI RECEBER MELHOR RESPOSTA

Answer 1

Tem-se que:

$\frac{d}{dx} x^{2} + \int\ {2x^{3} } \, dx . \left( \lim_{n \to 0} \frac{ n-(5^{3} -25 )}{n+n+5} \right)$

Primeiro vamos iniciar com a derivada. Para fazer a derivação de $x^2$, basta aplicar a regra da potência $x^n = n.x^{n-1}$:

$2.x {}^{2 - 1} + \int\ {2x^{3} } \, dx . \left(\lim_{n \to0} \frac{ n-(5^{3} -25 )}{n+n+5} \right) \\ \\ 2x + \int\ {2x^{3} } \, dx . \left(\lim_{n \to0} \frac{ n-(5^{3} -25 )}{n+n+5} \right)$

A integral também deve ser calculada com ajuda da regra da potência (sendo que essa é para integrais):$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,C \in \mathbb{R} \: e \: n\neq1$:

$2x + \left( 2.\frac{x {}^{3 + 1} }{3 + 1} + C \right). \left(\lim_{n \to0} \frac{ n-(5^{3} -25 )}{n+n+5} \right) \\ \\ 2x + \left(\frac{x {}^{4} }{2} + C \right).\left(\lim_{n \to0} \frac{ n-(5^{3} -25 )}{n+n+5} \right)$

O limite em questão é básico, pois basta substituir o valor a qual o "x" tende:

$2x + \left(\frac{x {}^{4} }{2} + C \right).\left( \frac{ 0-(5^{3} -25 )}{0+0+5} \right) \\ \\ 2x + \left(\frac{x {}^{4} }{2} + C \right).\left( \frac{ - 125 + 25 }{5} \right) \\ \\ 2x + \left(\frac{x {}^{4} }{2} + C \right).\left( - \frac{ 100 }{5} \right) \\ \\ 2x + \left(\frac{x {}^{4} }{2} + C \right).\left( - 20\right) \\ \\ 2x - \frac{20x {}^{4} }{2} - 20C \\ \\ \boxed{2x - 10x {}^{4} - 20C}$

Espero que seja isso