Question

$\frac{3^x}{27^{x-3}} =3^{ \sqrt{x} -1}$

Answer 1

É dada a expressão:

$\dfrac{3^x}{27^{x-3}}=3^{\sqrt{x}-1}$

Como x se encontra dentro de uma raiz quadrada, temos a restrição: $x \geq 0$. Manipulando a expressão dada:

$\dfrac{3^x}{27^{x-3}}=3^{\sqrt{x}-1}\\\\ \dfrac{3^x}{(3^3)^{x-3}}=3^{\sqrt{x}-1}\\\\ \dfrac{3^x}{3^{3x-9}}=3^{\sqrt{x}-1}\\\\ 3^{x-(3x-9)}=3^{\sqrt{x}-1}\\\\ 3^{-2x+9}=3^{\sqrt{x}-1}$

Como as bases das potências são iguais, podemos igualar os expoentes:

$-2x+9=\sqrt{x}-1\\\\ -2x+10=\sqrt{x}$

Elevando os dois lados ao quadrado:

$-2x+10=\sqrt{x}\\\\ (-2x+10)^2=(\sqrt{x})^2\\\\ 4x^2-40x+100=x\\\\ 4x^2-41x+100=0\\\\\\ \Delta=b^2-4ac=(-41)^2-4\cdot4\cdot100=1681-1600\\\\ \Delta=81\\\\\\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-(-41)\pm\sqrt{81}}{2\cdot4}=\dfrac{41\pm9}{8}\\\\ x=\dfrac{41+9}{8}~~ou~~x=\dfrac{41-9}{8}\\\\ x=\dfrac{50}{8}~~ou~~x=\dfrac{32}{8}\\\\ x=\dfrac{25}{4}~~ou~~x=4$

Como elevamos os dois lados da expressão ao quadrado, podemos ter inserido alguma raiz estranha. Testando na equação original:

→ Para x=25/4:


$\dfrac{3^x}{27^{x-3}}=3^{\sqrt{x}-1}\\\\ \dfrac{3^\frac{25}{4}}{27^{\frac{25}{4}-3}}=3^{\sqrt{\frac{25}{4}}-1}\\\\ \dfrac{3^\frac{25}{4}}{(3^3)^{\frac{13}{4}}}=3^{\frac{5}{2}-1}\\\\ \dfrac{3^\frac{25}{4}}{3^{\frac{39}{4}}}=3^{\frac{3}{2}}\\\\ 3^{\frac{25-39}{4}}=3^{\frac{3}{2}}\\\\ \dfrac{25-39}{4}=\dfrac{3}{2}\\\\ -\dfrac{14}{4}=\dfrac{3}{2}\\\\ -\dfrac{7}{2}=\dfrac{3}{2}\to Absurdo!$

→ Para x=4:

$\dfrac{3^x}{27^{x-3}}=3^{\sqrt{x}-1}\\\\ \dfrac{3^4}{27^{4-3}}=3^{\sqrt{4}-1}\\\\ \dfrac{3^4}{(3^3)^1}=3^{2-1}\\\\ \dfrac{3^4}{3^3}=3^1\\\\ 3^1=3^1\to Ok!$

Logo, a única raiz é x=4.