Question

$\frac{1 - x}{3 -x} \geq 0$

Answer 1

Se trata de uma inequação quociente. Devemos fazer o estudo de sinais do numerador e do denominador, depois fazer o quociente dos sinais (similar ao produto)

$\dfrac{+}{+}=+\\\\\\\dfrac{+}{-}=\dfrac{-}{+}=-\\\\\\\dfrac{-}{-}=+$
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Estudando o sinal de 1 - x:

1 - x é positiva se:

$1-x~\textgreater~0\\\\-x~\textgreater-1$

Multiplicando todos os membros por -1 e invertendo o sinal de desigualdade:

$\boxed{\boxed{x~\textless~1}}$

1 - x é negativa se:

$1-x~\textless~0\\\\-x~\textless-1\\\\\boxed{\boxed{x~\textgreater~1}}$

Veja também que 1 - x = 0 se x = 1
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Estudando sinal de 3 - x:

De maneira análoga, a função é:
Positiva se x < 3
Negativa se x > 3
Nula se x = 3 (que não poderá entrar na solução, pois anularia o denominador)
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Com isso, podemos fazer o quadro de sinais, e fazer o quociente dos sinais, achando o estudo de sinais da função racional em questão

Anexei o estudo de sinais. Veja que apenas os valores menores ou iguais a 1 e os valores menores que 3 satisfazem a inequação. Portanto:

$\boxed{\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}~/~x\le1~ou~x\ \textgreater \ 3\}}}$