Question

$f(x) = \sqrt [3]{ \frac{x + 8}{3} }$
e
$g(x) = 3 {x}^{3} - 8$
Escreva expressões simplificadas para:
$f(g( x)) \: e \: g(f(x))$
em função de x.
As funções f e g são inversas ?​

Answer 1

Sejam $f$ e $g$ as funções definidas por

$f(x) = \sqrt[3]{\dfrac{x+8}{3}} \qquad \textrm{e}\qquad g(x) = 3x^3 - 8.$

Temos então:

$f[g(x)] = f(3x^3 - 8) = \sqrt[3]{\dfrac{(3x^3-8)+8}{3}} = \sqrt[3]{\dfrac{3x^3}{3}} = \sqrt[3]{x^3} = x.$

Temos também:

$g[f(x)] = g\left(\sqrt[3]{\dfrac{x+8}{3}}\right) = 3\left(\sqrt[3]{\dfrac{x+8}{3}}\right)^3 - 8 = 3 \times \dfrac{x+8}{3} - 8 = x + 8 - 8 = x.$

Portanto, temos:

$(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) = x,$

que é a função identidade, pelo que $f$ e $g$ são inversas.