Matemática, perguntado por mariaeduardasilva989, 6 meses atrás

$f(x)=-\frac{-x^{4} }{4}+\frac{5x^{2} }{3}-2x^{2}$

c) Os extremos locais (máximos e mínimos);
d) Os pontos de inflexão

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras

Por meio dos cálculos desenvolvidos, chegamos aos valores procurados, que estão listados logo abaixo no seu respectivo item.

Explicação

Temos a seguinte função:

$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\bf f(x) = - \frac{x {}^{4} }{4} + \frac{5x {}^{3} }{3} - 2x {}^{2} \\$ .

A partir desta expressão, o enunciado nos faz duas perguntas, sendo elas:

c) Os extremos locais (máximos e mínimos):

Para a determinação dos extremos, vamos utilizar o teste da derivada primeira que busca encontrar candidatos a extremos locais, conhecidos como os pontos críticos da função, que é dado pelos valores que anulam a derivada primeira, e o teste da derivada segunda utiliza os pontos críticos da derivada primeira para determinar se são máximos locais ou mínimos locais.

Seguindo os passos do texto acima:

$f'(x)= \left( - \frac{x {}^{4} }{4} + \frac{5x {}^{3} }{3} - 2x {}^{2} \right) ' \\ \\ f'(x) = - 4. \frac{x {}^{4} }{4} + \frac{5x {}^{3} }{3} - 2.2x\\ \\f'(x) = - x {}^{3} + 5x {}^{2} - 4x$

Como os pontos críticos são valores que anulam a derivada primeira, $f'(x) = 0$ . Logo:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \: - x {}^{3} + 5x {}^{2} - 4 = 0$

Vanos usar a fatoração para resolver esta equação do terceiro grau.

$0 = - x {}^{3} + 5x {}^{2} - 4x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 0 = - x.(x {}^{2} - 5x + 4) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 0 = - x.(x^{2} + ( - 1 - 4)x + 4) \\ 0 = - x.(x^{2} - x - 4x + 4) \: \: \: \: \: \: \: \\ 0 = - x.(x(x - 1) - 4(x - 1)) \\ 0 = - x.(x - 1).(x - 4) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Pelo anulamento de produto ficamos com:

$(1) \begin{cases} -x = 0 \\ x = 0 \end{cases} \: \: (2) \begin{cases} x - 1 = 0 \\ x = 1 \end{cases} \: \: (3) \begin{cases} x - 4 = 0 \\ x = 4 \end{cases}$

Podemos então concluir que os pontos críticos da função f(x) são $\bf x = 0,\:x = 1 \:e\:x=4$ .

A aplicação dos pontos críticos na derivada segunda dá-se através da substituição dos pontos na expressão da segunda derivada da função em que se quer encontrar os extremos. Com base nos resultados, julgamos se é máximo ou mínimo através de: $\begin{cases} \bf f''(x) > 0 \: \to \: m \acute{i}nimo \\ \bf f''(x) < 0 \: \to \: m \acute{a}ximo\end{cases}$ .

Partindo desta ideia do texto, vamos derivar a expressão mais uma vez.

$f''(x) = \left( - x {}^{3} + 5x {}^{2} - 4x\right)' \\ f''(x) = - 3x {}^{2} + 10x - 4 \: \: \: \: \:$

Agora é só substituir os pontos críticos e observar o sinal do resultado obtido.

$x = 0,1,4 \begin{cases} - 3.0 {}^{2} + 10.0 - 4 = - 4 < 0 \\ - 3.1 {}^{2} + 10.1 - 4 = 3 > 0 \\ - 3.4 {}^{2} + 10.4 - 3 = - 11 < 0 \end{cases} \\$

Observando os resultados obtidos, podemos ver que no ponto em que x = 0, a função possui um ponto de máximo, já que f"(x) < 0, em x = 1, a função possui um ponto de mínimo, dado que f"(x) > 0 e em x = 4 ela possui outro ponto de máximo, em virtude de f"(x) < 0.

d) Os pontos de inflexão:

O ponto de inflexão é basicamente um "separador", isto é, ele marca onde há a mudança de sinal de uma função. Para determiná-lo, devemos primeiro analisar a concavidade da função nos intervalos, considerando que $\begin{cases} \bf f''(x) < 0\to concavidade \: p/ baixo \\ \bf f''(x) >0\to concavidade \: p/ cima\end{cases}\\$ .

Desigualdades:

Para analisar a concavidade devemos usar a derivada segunda e analisar quando ela é maior e menor que 0. Como já derivamos anteriormente, temos apenas que analisá-la.

$I) - 3x {}^{2} + 10x - 4 > 0 \: \\II) - 3x {}^{2} + 10x - 4 < 0$

Para resolver uma inequação do segundo grau, devemos primeiro resolver a equação do segundo grau associada a ela.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: - 3 {x}^{2} + 10x - 4 = 0 \\ \\ x = \frac{ - 10 \pm \sqrt{52} }{ - 6} \: \to \: \frac{ - 10 \pm 2 \sqrt{13} }{ - 6} \\ \\ \begin{cases} x _{1} = \large\frac{ - 10 + 2 \sqrt{13} }{ - 6} = \frac{5 - \sqrt{13} }{3} \\ \\ x _{2} = \large \frac{ - 10 - 2 \sqrt{13} }{ - 6} = \frac{5 + \sqrt{13} }{3} \end{cases}$

Tendo encontrado as raízes, vamos dispor cada uma delas em um gráfico simples (anexado na resposta) e analisar os intervalos que queremos. Pela imagem e pela tabela podemos concluir que os intervalos das concavidades são:

$\begin{cases} \bf concavidade \: p/ baixo \: \to \: \large x < \frac{5-\sqrt{13}}{3}\\ \\ \bf concavidade \: p/ cima \: \to \: \large \frac{5-\sqrt{13}}{3} < x < \frac{5 + \sqrt{13}}{3} \\ \\ \bf concavidade \: p/ baixo \: \to \large x > \frac{5 + \sqrt{13}}{3} \end{cases}$

Como eu havia dito, o ponto de inflexão é quando há a mudança de sinal na função, e como pode ser visto acima, a mudança ocorre nas raízes da parábola. Logo:

$\bf Pontos\: de \: inflex\tilde{a}o \to x = \frac{5 + \sqrt{13}}{3} \: \: e \: \: x = \frac{5-\sqrt{13}}{3} \\$