Question

$f(x)=e^{-x} -x +1$

1) Determina:

O limite quando $x$ tende para zero

$\frac{f'(x) +2}{x}$


2) Resolva a equação

$f'(x)= f''(x) -e^{x}$

Answer 1

1)$f(x)=e^{-x}-x+1$

calculando f'(x):

$f'(x)=(e^{-x})'(-x)'-x'+1'\\\\f'(x)=-e^{-x}-1$

Calculando $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f'(x)+2}{x}$:

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\overbrace{f'(x)}^{f'(x)=-e^{-x}-1}+2}{x}\\\\ \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{-e^{-x}-1+2}{x}\\\\\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{-e^{-x}+1}{x}\quad\mbox{colocando o menos em evidencia}\\\\\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{-(e^{-x}-1)}{x}$

Agora, há um limite fundamental bem conhecido que é $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{e^{h}+1}{h}=1$ e o limite que estamos tentando calcular é muito parecido com ele, fazendo então a seguinte substituição de variavel $-x=h$ então $x=-h$ e como $x\rightarrow 0$ temos que h vai tender a $-0=h\Rightarrow h\rightarrow0$, voltando ao limite temos:

$\displaystyle\lim_{h \to 0} -\dfrac{(e^h-1)}{-h}\\\\\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{e^h-1}{h}=1$

Portanto, $\boxed{\boxed{\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f'(x)+2}{x}=1}}$

2)$f'(x)=f''(x)-e^x$

Do item 1) ja temos $f'(x)=-e^{-x}-1$, temos então que encontrar $f''(x)$, fazendo isso então

$f''(x)=(-e^{-x})'-1'\\\\f''(x)=-(e^{-x})'(-x)'-0\\\\f''(x)=e^{-x}$

Voltando a equação então:

$\overbrace{f'(x)}^{-e^{-x}-1}=\overbrace{f''(x)}^{e^-x}-e^x\\\\-e^{-x}-1=e^-x-e^x\\\\-e^{-x}-e^{-x}-1=-e^x\\\\-2e^{-x}-1=-e^{x}\\\\-2\cdot\dfrac{1}{e^{x}}-1=-e^x\quad\mbox{multilicando tudo por\,}\,e^x\\\\-2-e^x=-(e^x)^2\\\\(e^x)^2-e^x-2= 0$

Fazendo $e^{x}=t$ temos:

$t^2-t-2=0$ se resolvermos essa equação do segundo grau vamos encontrar $t_1=-1$ e $t_2=2$, porém como $e^x>0$ ficamos só com $t_2=2$

$e^x=t \quad\mbox{para t=2}$

$e^x=2$ aplicando $\ln$ em ambos os lados da equação

$\ln e^x=\ln2\\\\x\cdot\ln e=\ln2\\\\\boxed{\boxed{x=\ln2}}$