Question

$Encontre \ o \ valor \ da \ soma \ infinita\ \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{3}{27}+\dots$

Answer 1

Tópico: Soma de termos de uma progressão aritmético - geométrica (PAG).

A dois cálculos devidos que realizaremos, podemos concluir que o valor da soma infinita é igual a 3/4. E para chegar a essa conclusão tivemos que seguir os seguintes passos.

• Temos a seguinte soma de termos infinitos:

$\large\boxed{\boxed{\boxed{ \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{3}{27}+\dots}}}$

Para encontrar o valor dessa soma infinita, a primeira coisa que faremos é atribuir uma variável que represente o valor dessa operação, a variável para o valor dessa soma é "S" e aplicando essa variável na expressão obtemos:

$\large S =\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{3}{27}+\dots$

Para calcular o valor desta variável vamos usar um pequeno truque que não é para matemática superior.

Este truque consiste em perceber que os denominadores das frações seguem uma progressão geométrica com razão igual a x3 e os numeradores seguem uma progressão aritmética com razão +1. Então o que vamos fazer é multiplicar ambas as partes da equação pela razão que segue o denominador das frações.

$3S =3\left[\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{3}{27}+\dots\right]$

Simplificamos os termos da soma para obter a expressão:

$3S =1+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{9}+\dots$

Devemos subtrair a expressão desta sequência com a outra expressão da sequência inicial, realizando a subtração desta forma obtemos:

$\begin{array}{ccccc}3S =1&+\dfrac{2}{3}&+\dfrac{3}{9}&+\dots \\ S =0& +\dfrac{1}{3}&+\dfrac{2}{9}&+\dfrac{3}{27}&+\dots \end{array}\\ \rule{7cm}{0.01mm}\\ 2 S = 1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dots$

Para resolver esta expressão podemos simplesmente aplicar a fórmula da soma de uma progressão geométrica de infinitos termos.

• E qual é essa fórmula?

A fórmula é:

$\large\boxed{\boxed{\boxed{ S _{\infty} =\dfrac{a _ 1}{1 - r}}}}$

Onde:

• $\sf S _ {\infty }$: É o valor da soma de infinitos termos. (queremos encontrar isso).

• $\sf a _ 1$: É o primeiro termo da progressão geométrica (já sabemos disso).

• $\sf r$: É a razão da progressão (O valor da razão para este tipo de sequência geométrica será sempre igual ao segundo termo da sequência).

Sabendo o valor de todos os nossos dados, podemos substituir diretamente na fórmula:

$S _{\infty} =\dfrac{1}{1 -\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{2}$

Uma vez encontrado esse valor, podemos substituí-lo em nossa expressão para obter:

$2 S =\dfrac{3}{2}\\ \\ \large \boxed{\boxed{ S =\dfrac{3}{4}}}$

E tendo feito os cálculos concluímos que a resposta é 3/4

ヘ( ^o^)ノ＼(^_^ ) Você pode ver mais sobre o assunto da soma infinita de uma progressão geométrica nos seguintes links:

• https://brainly.com.br/tarefa/21484888

Bons estudos! :)