Question

$Determinando\ os\ autovalores\ e\ autovetores\ de\ T(x , y) = ( - y, x )\\ podemos \ dezer\ que\ e\´\ correto\ dizer:$
$a)N\~ao\ esta\´\ contida\ no\ campo.$
$b)Tem\ autovalores\ e\ autovetores.$
$c) Tem\ autovalores, mas\ nao\ autovetores.$
$d)Nao\ tem\ autovalores\ e\ autovetores.$
$e) Nao\ tem\ autovalores,\ mas\ tem\ autovetores.$

Answer 1

  Boa noite Optimistic

  seja a transformçâo linear T(x,y) = (0x - y, x - 0y) 

  podemos reescrever ela sobre a forma de uma matriz

  M = (0, -1)      
         (1,  0)

  devemos resolver o sistema 

  (M - λI)*v = 0 

  onde v autovetores não nulo e λ autovalores e I a matriz identidade

  det(M - λI) = 0

  l-λ -1l  
  l 1 -λl   

  λ² + 1 = 0  λ² = -1

  os autovalores são 

  λ1 = i 
  λ2 = -i   

  vamos encontrar os autovetores 

  para λ = i

  l-i -1l lv1l l0l 
  l 1 -il lv2l l0l

  fazendo linha2 = -i*linha1 + linha2 

  l-i -1l lv1l l0l 
l 0  0l lv2l l0l

  fixando v2 = 1
  -iv1 - v2 = 0 
  v2 = -iv1 
  V = (v1,v2) = (i,1) 

  para λ = -i
  l i -1l lv1l l0l 
  l 1  il lv2l l0l

  fazendo linha2 = i*linha1 + linha2 

  l i -1l lv1l l0l 
  l 0  0l lv2l l0l

  fixando  v2 = 1
  iv1 - v2 = 0 
  v2 = iv1 
  V = (v1,v2) = (-i,1) 

  Resposta; (B) Tem autovalores e autovetores 

  autovalores: λ1 = i, λ2 = -i 
  autovetores: V = (i,1), V = (-i,1)