Question

$Dado \ que \ N \ = \ cos \ 20^\circ \ . \ cos \ 40^\circ \ . \ cos \ 80^\circ \ \ \ , \ qual \ o \ valor \ de \ log_2N \ ?$

Answer 1

Enunciado:

Dado que N = cos 20° · cos 40° · cos 80°, qual o valor de log₂ N?

________


Solução:

   •   Forma 1:

Partimos da expressão dada:

N = cos 20° · cos 40° · cos 80°          (i)


Note que os ângulos envolvidos aqui são:

•  20°,  40°,  80°.


Além disso, temos alguns ângulos notáveis, cujas razões trigonométricas são conhecidas:

•  30°,  45°,  60°,  90°,  120°,  ...


Dessa forma, poderíamos tentar expressar N de forma a envolver apenas um dos arcos dados na expressão

{20°, 40°, 80°}


combinando com os arcos notáveis:

{30°, 45°, 60°, 90°, 120°, ...}

______


Por exemplo, poderíamos reescrever N das seguintes formas.
 
Identidade utilizada nesta etapa:  o cosseno de um ângulo a é igual ao seno de seu complementar (90° – a):

•  cos a = sen(90° – a)


Sendo assim,

•  Usando apenas o ângulo de 20°, e os ângulos notáveis:

N = cos 20° · cos 40° · cos 80°

N = cos 20° · cos(60° – 20°) · cos(60° + 20°)          (ii)


•  Usando apenas o ângulo de 40°, e os ângulos notáveis:

N = cos 20° · cos 40° · cos 80°

N = sen(90° – 20°) · cos 40° · sen(90° – 80°)

N = sen 70° · cos 40° · sen 10°

N = sen(40° + 30°) · cos 40° · sen(40° – 30°)          (iii)


•  Usando apenas o ângulo de 80°, e os ângulos notáveis:

N = cos 20° · cos 40° · cos 80°

N = cos(– 20°) · sen(90° – 40°) · cos 80°

N = sen(90 – (– 20)°) · sen 50° · cos 80°

N = sen(90° + 20°) · sen 50° · cos 80°

N = sen 110° · sen 50° · cos 80°

N = sen(80° + 30°) · sen(80° – 30°) · cos 80°          (iv)


A partir daqui, podemos escolher qualquer uma das expressões (ii), (iii) ou (iv) para começar as manipulações.

________


Tomemos a expressão (iii), que usa o ângulo de 40°, por exemplo:

N = sen(40° + 30°) · cos 40° · sen(40° – 30°)

N = sen(40° + 30°) · sen(40° – 30°) · cos 40°


Usando as expansões do seno da soma e da diferença (fórmulas de Werner),

•  sen(a + b) = sen a · cos b + cos a · sen b

•  sen(a – b) = sen a · cos b – cos a · sen b


obtemos

N = (sen 40° · cos 30° + cos 40° · sen 30°) · (sen 40° · cos 30° – cos 40° · sen 30°) · cos 40°


Mas conhecemos os valores das razões para o ângulo de 30°, pois é um ângulo notável;

•  sen 30° = 1/2   e   cos 30° = (√3)/2.


Então,

N = [ sen 40° · (√3)/2 + cos 40° · 1/2 ] · [ sen 40° · (√3)/2 – cos 40° · 1/2 ] · cos 40°


Agora, multiplique as expressões em colchetes, já que temos aqui o produto da soma pela diferença entre dois termos

•  (x + y) · (x – y) = x² – y²     (produtos notáveis)


e a expressão fica

N = [ (sen 40° · (√3)/2)² – ( cos 40° · 1/2)² ] · cos 40°

N = [ sen² 40° · (3/4) – cos² 40° · (1/4) ] · cos 40°


Coloque (– 1/4) em evidência para facilitar as manipulações subsequentes, fazendo a multiplicação dos termos entre parênteses com o cos 40° que está ali fora:

N = (– 1/4) · (– 3 sen² 40° + cos² 40°) · cos 40°

N = (– 1/4) · (– 3 sen² 40° · cos 40° + cos³ 40°)

N = (– 1/4) · (cos³ 40° – 3 sen² 40° · cos 40°)


Agora, reescreva convenientemente  3 sen² 40° · cos 40°  como  (1 + 2) · sen² 40° · cos 40°:

N = (– 1/4) · (cos³ 40° – (1 + 2) · sen² 40° · cos 40°)

N = (– 1/4) · [ cos³ 40° – (sen² 40° · cos 40° + 2 sen² 40° · cos 40°) ]

N = (– 1/4) · (cos³ 40° – sen² 40° · cos 40° – 2 sen² 40° · cos 40°)


Podemos colocar alguns fatores em evidência, e reescrever N da seguinte forma:

N = (– 1/4) · [ (cos² 40° – sen² 40°) · cos 40° – (2 sen 40° · cos 40°) · sen 40° ]


Usando as fórmulas do cosseno e do seno do arco duplo

•  sen 2a = 2 · sen a ·cos a

•  cos 2a = cos² a – sen² a


para a = 40°, temos então que

N = (– 1/4) · [ cos(2 · 40°) · cos 40° – sen(2 · 40°) · sen 40° ]

N = (– 1/4) · [ cos 80° · cos 40° – sen 80° · sen 40° ]


Agora, a expressão entre colchetes é a expansão do cosseno da soma de dois arcos (mais uma das fórmulas de Werner)

•  cos(a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b


no caso aqui, o cosseno da soma de 80° com 40°. Então,

N = (– 1/4) · cos(80° + 40°)

N = (– 1/4) · cos 120°


e como 120° é um ângulo notável, conhecemos o valor do seu cosseno, que é (– 1/2). Logo,

N = (– 1/4) · (– 1/2)

N = 1/8

N = 1/2³

N = 2⁻³


Portanto, temos finalmente que

log₂ N = log₂ (2⁻³)

log₂ N = – 3 · log₂ 2

log₂ N = – 3 · 1

log₂ N = – 3    <———    esta é a resposta.

________


   •  Forma 2:

Veja como tudo fica bem mais simples apenas multiplicando ambos os lados da expressão dada inicialmente por

2³ · sen(20°)

e depois, aplicando iterativamente a fórmula do seno do arco dobro.

•  sen 2a = 2 · sen a · cos a


N = cos 20° · cos 40° · cos 80°


Multiplicando os dois lados por 2³ · sen 20°,

2³ · sen 20° · N = 2³ · sen 20° · cos 20° · cos 40° · cos 80°

2³ · sen 20° · N = 2² · (2 · sen 20° · cos 20°) · cos 40° · cos 80°

2³ · sen 20° · N = 2² · sen (2 · 20°) · cos 40° · cos 80°

2³ · sen 20° · N = 2² · sen 40° · cos 40° · cos 80°

2³ · sen 20° · N = 2 · (2 · sen 40° · cos 40°) · cos 80°

2³ · sen 20° · N = 2 · sen (2 · 40°) · cos 80°

2³ · sen 20° · N = 2 · sen 80° · cos 80°

2³ · sen 20° · N = sen(2 · 80°)

2³ · sen 20° · N = sen(160°)

2³ · sen 20° · N = sen(180° – 20°)             mas  sen(180° – a) = sen a

2³ · sen 20° · N = sen 20°


E sendo assim

8 · sen 20° · N = sen 20°

             sen 20°
N  =  ———————
           8 · sen 20°

N = 1/8


e ao calcularmos o logaritmo, obteremos

log₂ N = log₂ (1/8)

log₂ N = – 3    <———    novamente, esta é a resposta.


Bons estudos! :-)


Tags:  desafio transformação trigonométrica logaritmo produto de cossenos cos sen trigonometria

Answer 2

A resposta do Lukyo está perfeita, considere a minha apenas como um complemento, sendo uma terceira forma válida de resolver a questão

Vamos usar a seguinte fórmula:

$\boxed{\boxed{\cos a\times\cos b=\frac{1}{2}\bigg[\cos(a+b)+\cos(a-b)\bigg]}}~~~~~\bigg(\bigstar\bigg)$

que é encontrada facilmente a partir das fórmulas do cosseno da soma e diferença de arcos (soma-se as equações e encontramos a escrita acima)

$\boxed{\cos(a\pm b)=\cos a\times\cos b\mp\sin a\times\sin b}$
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$N=\cos20\º\times\cos40\º\times\cos80\º=\bigg[\cos20\º\times\cos40\º\bigg]\times\cos80\º$

Vamos trabalhar no termo em colchetes, usando $(\star)$:

$\cos20\º\times\cos40\º=\\\\\cos40\º\times\cos20\º=\\\\\frac{1}{2}\big[\cos(40\º+20\º)+cos(40\º-20\º)\big]=\\\\\frac{1}{2}\big[\cos60\º+\cos20\º\big]=\\\\\frac{1}{2}\big[\frac{1}{2}+\cos20\º\big]=\\\\\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos20\º$

Substituindo na expressão de $N$:

$N=\cos20\º\times\cos40\º\times\cos80\º=\big[\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos20\º\big]\times\cos80\º\\\\N=\frac{1}{4}\cos80\º+\frac{1}{2}\cos80\º\times\cos20\º$

Usando $(\star)$ no produto de cossenos novamente:

$N=\frac{1}{4}\cos80\º+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\big[\cos(80\º+20\º)+\cos(80\º-20\º)\big]\\\\N=\frac{1}{4}\cos80\º+\frac{1}{4}\big[\cos100\º+\cos60\º\big]\\\\N=\frac{1}{4}\cos80\º+\frac{1}{4}\big[\cos100\º+\frac{1}{2}\big]\\\\N=\frac{1}{4}\cos80\º+\frac{1}{4}\cos100\º+\frac{1}{8}\\\\N=\frac{1}{4}\big[\cos80\º+\cos100\º\big]+\frac{1}{8}$

Como 100º e 80º são ângulos suplementares (já que somam 180º) e o cosseno de um ângulo é o oposto do cosseno de seu suplementar, temos que $\cos80\º=-\cos100\º$. Logo:

$N=\frac{1}{4}\big[\cos80\º+\cos100\º\big]+\frac{1}{8}\\\\N=\frac{1}{4}\big[-\cos100\º+\cos100\º\big]+\frac{1}{8}\\\\N=\frac{1}{4}\times0+\frac{1}{8}\\\\\\\boxed{\boxed{N=\frac{1}{8}}}$

Portanto:

$\log_{2}N=\log_{2}(\frac{1}{8})\\\\\log_{2}N=\log_{2}(\frac{1}{2^{3}})\\\\\log_{2}N=\log_{2}(2^{-3})\\\\\log_{2}N=(-3)\times\log_{2}2\\\\\log_{2}N=(-3)\times1\\\\\boxed{\boxed{\log_{2}N=-3}}$