Question

$\binom{2}{ \sqrt{5} - \sqrt{3} } - \binom{2}{ \sqrt[3]{2} }$
vi resoluções na internet que ao racionalizar V5 - V3, racionalizava-se V5 - V3 x V5 + V3. Gostaria de também saber o porquê que racionaliza-se utilizando V3 + V5, ao invés de V3 - V5, que pra mim seria o certo​

Answer 1

Resposta:

$\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt[3]{4}$

Explicação passo-a-passo:

Vamos fazer juntos!

Primeiro, vamos fazer a racionalização dos denominadores, como a raiz de baixo é √5 - √3, vamos multiplicar por √5 + √3, pois lembrando daquela propriedade dos produtos notaveis que dizia:

$(x + y) \times (x - y) = x {}^{2} - y {}^{2}$

Agora:

$\frac{2}{ \sqrt{5} - \sqrt{3} } \times \frac{ \sqrt{5} + \sqrt{3} } { \sqrt{5} + \sqrt{3} }$

$\frac{2 \times ( \sqrt{5} + \sqrt{3} ) }{ \sqrt{ {5}^{2} } - \sqrt{ {3}^{2} } }$

Agora cortando as raízes:

$\frac{2 \times ( \sqrt{5} + \sqrt{3} ) }{5 - 3}$

$\frac{2 \times ( \sqrt{5} + \sqrt{3} ) }{2}$

Agora, é só cortar o dois de cima com o dois de baixo, já que vamos simplificar, só sobrando:

√5 + √3

Agora, vamos racionalizar o outro cálculo:

$\frac{2}{ \sqrt[3]{2} }$

$\frac{2}{ \sqrt[3]{2} } \times \frac{ \sqrt[3]{ {2}^{2} } }{ \sqrt[3]{ {2}^{2} } }$

$\frac{2 \times ( \sqrt[3]{ {2}^{2} }) }{ \sqrt[3]{ {2}^{3} } }$

$\frac{2 \times ( \sqrt[3]{ {2}^{2} }) }{2}$

Agora é só cortar o dois de cima com o de baixo:

$\sqrt[3]{ {2}^{2} } = \sqrt[3]{4}$

Totalmente:

$\sqrt{5 } + \sqrt{3} - \sqrt[3]{4}$

E como não dá mais de simplificar, o resultado é esse mesmo.