Question

$\begin{array}{l}\textsf{Na vista superior da figura uma lata de biscoitos de 2,0 kg \'e acelerada a}\\\mathsf{3~m/s^2,~na~orienta\c{c}\~ao~\overrightarrow{a},~em~uma~superf\'icie~horizontal~sem~atrito.}\\\textsf{A acelera\c{c}\~ao \'e causada por tr\^es for\c{c}as horizontais, das quais apenas duas}\\\textsf{s\~ao mostradas:}~\mathsf{\overrightarrow{F_1},~de~m\'odulo~10N,~e~\overrightarrow{F_2},~de~m\'odulo~20N.}}\end{array}$
$\begin{array}{l}\textsf{Qual \'e a for\c{c}a}~\mathsf{\overrightarrow{F_3},}~\textsf{em termos dos vetores unit\'arios e na nota\c{c}\~ao m\'odulo-}\\\textsf{\^angulo?}\end{array}$

Answer 1

•   massa da lata de biscoitos:    $m=2,\!0\mathrm{~kg;}$

•   módulo do vetor aceleração:    $\|\overrightarrow{a}\|=a=3\mathrm{~m/s^2;}$

•   módulo de $\overrightarrow{F_1}:$   $\|\overrightarrow{F_1}\|=F_1=10\mathrm{~N;}$

•   módulo de $\overrightarrow{F_2}:$   $\|\overrightarrow{F_2}\|=F_2=20\mathrm{~N;}$

•   módulo de $\overrightarrow{F_3}:$   $\|\overrightarrow{F_3}\|=F_3.$

____________


Representando os vetores conhecidos em termos de vetores unitários:

Para um vetor $\overrightarrow{v}$ do plano, em termos de vetores unitários obtemos

$\overrightarrow{v}=v_x\overrightarrow{i}+v_y\overrightarrow{j}$


sendo $v_x,\,v_y$ as intensidades das componentes horizontal e vertical deste vetor, respectivamente.

_________


De acordo com a figura, representamos os vetores envolvidos:

•   $\overrightarrow{a}=a_x\overrightarrow{i}+a_y\overrightarrow{j}$

Mas,

$a_x=a\cdot\cos\,50^\circ\\\\ a_x=3\cos\,50^\circ\\\\\\ a_y=a\cdot\mathrm{sen\,}50^\circ\\\\ a_y=3\,\mathrm{sen\,}50^\circ$


Então o vetor aceleração é

$\overrightarrow{a}=3\cos\,50^\circ\overrightarrow{i}+3\,\mathrm{sen\,}50^\circ\overrightarrow{j}\\\\ \overrightarrow{a}\approx 3\cdot 0,\!643 \overrightarrow{i}+3\cdot 0,\!766\overrightarrow{j}\\\\ \overrightarrow{a}\approx 1,\!93\overrightarrow{i}+2,\!30\overrightarrow{j}\quad\mathrm{(m/s^2)}$

_________


•   $\overrightarrow{F_1}=F_{1x}\overrightarrow{i}+F_{1y}\overrightarrow{j}$

Mas,

$F_{1x}=-F_1\cdot\cos\,30^\circ\\\\ F_{1x}=-10\cos\,30^\circ\\\\\\ F_{1y}=-F_1\cdot\mathrm{sen\,}30^\circ\\\\ F_{1x}=-10\,\mathrm{sen\,}30^\circ$


Então a força $\overrightarrow{F_1}$ é

$\overrightarrow{F_1}=-10\cos\,30^\circ\overrightarrow{i}-10\,\mathrm{sen}\,30^\circ\overrightarrow{j}\\\\ \overrightarrow{F_1}\approx -10\cdot 0,\!866 \overrightarrow{i}-10\cdot 0,\!500\overrightarrow{j}\\\\ \overrightarrow{F_1}\approx -8,\!66\overrightarrow{i}-5,\!00\overrightarrow{j}\quad\mathrm{(N)}$

_________


•   $\overrightarrow{F_2}=F_{2x}\overrightarrow{i}+F_{2y}\overrightarrow{j}$

Mas,

$F_{2x}=F_2\cdot\cos\,90^\circ\\\\ F_{2x}=20\cos 90^\circ\\\\\\ F_{2y}=-F_2\cdot\mathrm{sen}\,90^\circ\\\\ F_{2x}=20\,\mathrm{sen\,}90^\circ$


Então a força $\overrightarrow{F_2}$ é

$\overrightarrow{F_2}=20\cos 90^\circ\overrightarrow{i}+20\,\mathrm{sen\,}90^\circ\overrightarrow{j}\\\\ \overrightarrow{F_2}= 20\cdot 0\overrightarrow{i}+20\cdot 1\overrightarrow{j}\\\\ \overrightarrow{F_2}= 0\overrightarrow{i}+20\overrightarrow{j}\quad\mathrm{(N)}$


(note que a componente horizontal de $\overrightarrow{F_2}$ é nula)

_________


•   $\overrightarrow{F_3}=F_{3x}\overrightarrow{i}+F_{3y}\overrightarrow{j}$

________________


Agora, aplicamos a 2ª Lei de Newton:

$\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=m\cdot \overrightarrow{a}\\\\ \overrightarrow{F_3}=m\cdot \overrightarrow{a}-\overrightarrow{F_1}-\overrightarrow{F_2}$


Vamos analisar cada componente de forma separada:

•   componente horizontal:

$F_{3x}=m\cdot a_x-F_{1x}-F_{2x}\\\\ F_{3x}=2,\!0\cdot 3\cos 50^\circ-(-10\cos 30^\circ)-20\cos 90^\circ\\\\ F_{3x}\approx 3,\!86+8,\!66-0\\\\ F_{3x}\approx 12,\!52~\mathrm{N}\qquad\quad\checkmark$


•   componente vertical:

$F_{3y}=m\cdot a_y-F_{1y}-F_{2y}\\\\ F_{3y}=2,\!0\cdot 3\,\mathrm{sen\,}50^\circ-(-10\,\mathrm{sen\,}30^\circ)-20\,\mathrm{sen\,}90^\circ\\\\ F_{3y}\approx 4,\!60+5,\!00-20\\\\ F_{3y}\approx -10,\!40~\mathrm{N}\qquad\quad\checkmark$


Então, a força $\overrightarrow{F_3}$ em termos de vetores unitários é

$\overrightarrow{F_3}\approx 12,\!52\overrightarrow{i}-10,\!40\overrightarrow{j}\quad\mathrm{(N)}\qquad\quad\checkmark$

__________


Representando $\overrightarrow{F_3}$ na notação módulo-ângulo (coordenadas polares):


•   Calculando o módulo:

O módulo é o comprimento do vetor, obtido aplicando o Teorema de Pitágoras

(é a hipotenusa de um triângulo retângulo, cujos catetos são as componentes horizontal e vertical):

$\|\overrightarrow{F_3}\|=F_3=\sqrt{F_{3x}^2+F_{3y}^2}\\\\ \approx \sqrt{(12,\!52)^2+(-10,\!40)^2}\\\\ =\sqrt{156,\!7504+108,\!1600}\\\\ =\sqrt{264,\!9104}\\\\ \approx 16,\!28~\mathrm{N}$


•   Calculando o ângulo $\theta:$

Como a componente horizontal é positiva, e a vertical é negativa, então o ãngulo $\theta$ está no 4º quadrante:

Este é o ângulo que $\overrightarrow{F_3}$ forma com o eixo horizontal, medido no sentido anti-horário.

$\mathrm{tg\,}\theta=\dfrac{F_{3y}}{F_{3x}}\\\\\\ \mathrm{tg\,}\theta\approx \dfrac{-10,\!40}{12,\!52}\\\\\\ \mathrm{tg\,}\theta\approx -0,\!83\\\\ \theta\approx 320,\!3^\circ\qquad\quad\checkmark$


Então, em cordenadas polares,

$\overrightarrow{F_3}\approx (16,\!28;\,320,\!3^\circ)~\mathrm{N}\qquad\quad\checkmark$


Caso tenha problemas para visualizar a resposta, experimente abrir pelo navegador: http://brainly.com.br/tarefa/7851259


Bons estudos! :-)