Question

$[(a \sqrt{a}+ b \sqrt{b}) ( \sqrt{a}+ \sqrt{b} )^{-1} + 3\sqrt{ab} ] ^{ \frac{1}{2} }$

Answer 1

Por partes:

$(a\sqrt{a}+b\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1}$
$(a\sqrt{a}+b\sqrt{b})/(\sqrt{a}+\sqrt{b})$

Multiplicando o numerador e o denominador por (√a - √b):

$(a\sqrt{a}+b\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})/[(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})]$

Distributiva e fazendo (x + y)(x - y) = x² - y²:

$(a\sqrt{a}*\sqrt{a}-a\sqrt{a}*\sqrt{b}+b\sqrt{b}*\sqrt{a}-b\sqrt{b}*\sqrt{b})/(\sqrt{a}^{2}-\sqrt{b}^{2})$
$(a^{2}-a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab}-b^{2})/(a-b)$
$([a^{2}-b^{2}]-a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab})/(a-b)$

Fazendo x² - y² = (x + y)(x - y) e colocando - √ab em evidência:

$([a + b][a - b] - \sqrt{ab}[a - b])/(a - b)$

Cancelando (a - b):

$(a + b - \sqrt{ab})$

Então, descobrimos que $(a\sqrt{a}+b\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1}=(a + b - \sqrt{ab})$
___________________________

$[(a\sqrt{a}+b\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1} + 3\sqrt{ab}]^{1/2}$
$[(a + b - \sqrt{ab}) + 3 \sqrt{ab}]^{1/2}$
$[a+b+2\sqrt{ab}]^{1/2}$
$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}$


$(a\sqrt{a}+b\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1} + 3\sqrt{ab}]^{1/2}=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}$