Question

$3 \sin(x) + \sqrt{3} \cos(x) = 3$
O exercício pede para resolver esta equação em IR. ​

Answer 1

$3 \sin(x) + \sqrt{3} \cos(x) = 3 \\ {(3 \sin(x) + \sqrt{3} \cos(x))}^{2} = {3}^{2} \\ 9 { \sin }^{2}(x) + 6 \sqrt{3}. \sin(x) + \\ \cos(x) +3 { \cos }^{2}(x) \\ = 9$

${ \sin }^{2}(x) = 1 - { \cos }^{2}x$

$9(1 - { \cos }^{2}x) + 6 \sqrt{3} \sin(x). \cos(x) \\ + 3 { \cos}^{2}x = 9$

$\cancel9 - 9 { \cos }^{2}(x) + 6 \sqrt{3} \sin(x). \cos(x) \\ + 3 { \cos }^{2}x = \cancel9 \\ - 6 { \cos }^{2}(x) + 6 \sqrt{3} \sin(x). \cos(x) \\ = 0 \div ( - 6)$

${ \cos }^{2}x - \sqrt{3} \sin(x). \cos(x) = 0 \\ \cos(x)( \cos(x) - \sqrt{3} \sin(x) ) = 0 \\ \cos(x) = 0 \\x = \frac{ \pi}{2} + 2k \pi \: ou \: x = \frac{3 \pi}{2} + 2k\pi$

$\cos(x) - \sqrt{3} \sin(x) = 0 \\ \sqrt{3} \sin(x) = \cos(x) \div \cos(x) \\ \frac{ \sqrt{3} \sin(x) }{ \cos(x) } =1$

$\sqrt{3}\tan(x)=1\\\tan(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan(x)=\frac{\sqrt{3}}{3}\\x=\frac{\pi}{6}+k\pi\:ou\:x=\frac{3\pi}{2}+k\pi$

Vamos testar as raízes para saber se são verdadeiras em relação a equação trigonométrica inicial.

para x=$\frac{\pi}{2}$ :

$3\sin(\frac{\pi}{2})+\sqrt{3} \cos(\frac{\pi}{2})=3.1+0=3\checkmark$

para x=$\frac{3\pi}{2}$:

$3\sin(\frac{3\pi}{2}) + \sqrt{3} \cos(\frac{3\pi}{2})=3.-1+0=-3≠3$

Portanto não é raiz.

Para x=$\frac{\pi}{6}$:

$3\sin(\frac{\pi}{6})+\sqrt{3} \cos(\frac{\pi}{6})=3.\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=3\checkmark$

$s=\left\{x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\right\}\:ou\:\left\{x=\frac{\pi}{6}+k\pi\right\}$

Answer 2

Para equações trigonométricas escritas na forma

    $\mathsf{A\,sin(x)+B\,cos(x)=C}$

com A, B, C constantes, $\mathsf{A^2+B^2\ne 0,}$  o truque é multiplicar os dois lados por $\mathsf{\dfrac{1}{\sqrt{A^2+B^2}}.}$

Fazendo isso, a equação fica

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{\sqrt{A^2+B^2}}\cdot \left[A\,sin(x)+B\,cos(x)\right]=\dfrac{1}{\sqrt{A^2+B^2}}\cdot C}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\,sin(x)+\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\,cos(x)=\dfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\qquad (i)}$

Seja θ um ângulo tal que

    $\left\{ \begin{array}{l} \mathsf{cos(\theta)=\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}}\\\\ \mathsf{sin(\theta)=\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}} \end{array} \right.$

(Por que tal ângulo θ existe?

Para A, B positivos, basta você desenhar um triângulo retângulo com catetos medindo A e B, por exemplo.)

Substituindo em (i), a equação fica

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad cos(\theta)\,sin(x)+sin(\theta)\,cos(x)=\dfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad sin(\theta+x)=\dfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}}$

e a partir daqui, basta resolver uma equação trigonométrica simples, envolvendo seno da soma de dois arcos, sendo que θ é conhecido.

Perceba que a equação acima só terá solução se $\mathsf{-1\le sin(\theta+x)\le 1:}$

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad -1\le \dfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\le 1}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad -\sqrt{A^2+B^2}\le C\le -\sqrt{A^2+B^2}.}$

__________

Resolver a equação trigonométrica

    $\mathsf{3\,sin(x)+\sqrt{3}\,cos(x)=3\quad\longrightarrow\quad A=3,~~B=\sqrt{3},~~C=3}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad \sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}}$

Então, multiplicando os dois lados por $\mathsf{\dfrac{1}{2\sqrt{3}},}$  a equação fica

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\cdot \left[3\,sin(x)+\sqrt{3}\,cos(x)\right]=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\cdot 3}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{3}{2\sqrt{3}}\,sin(x)+\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\,cos(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{3}}}$

Racionalizando os denominadores:

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{3\cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}\,sin(x)+\dfrac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}\,cos(x)=\dfrac{3\cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3}\,sin(x)+\dfrac{3}{2\cdot 3}\,cos(x)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,sin(x)+\dfrac{1}{2}\,cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

Sabemos que

    $\left\{ \begin{array}{l} \mathsf{cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\ \mathsf{sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}} \end{array} \right.$

Logo, podemos tomar $\mathsf{\theta=\dfrac{\pi}{6},}$  e reescrever a equação como

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)sin(x)+sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad sin\left(\dfrac{\pi}{6}+x\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}+x\right)=sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}$

Temos agora uma igualdade entre senos. Aplicamos o seguinte resultado:

    $\mathsf{sin(\alpha)=sin(\beta)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \alpha=\beta+k\cdot 2\pi\quad ou\quad \alpha=(\pi-\beta)+k\cdot 2\pi}$

com k inteiro. Para $\mathsf{\alpha=\dfrac{\pi}{6}+x}$  e $\mathsf{\beta=\dfrac{\pi}{3},}$  devemos ter

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad\dfrac{\pi}{6}+x=\dfrac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi\qquad ou\qquad \dfrac{\pi}{6}+x=\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)+k\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad\dfrac{\pi}{6}+x=\dfrac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi\qquad ou\qquad \dfrac{\pi}{6}+x=\dfrac{2\pi}{3}+k\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\qquad ou\qquad x=\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{2\pi-\pi+12k\pi}{6}\qquad ou\qquad x=\dfrac{4\pi-\pi+12k\pi}{6}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi+12k\pi}{6}\qquad ou\qquad x=\dfrac{3\pi+12k\pi}{6}}$

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}{6}\cdot (1+12k)\qquad ou\qquad x=\dfrac{3\pi}{6}\cdot (1+4k)}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}{6}\cdot (1+12k)\qquad ou\qquad x=\dfrac{\pi}{2}\cdot (1+4k)}$

com k inteiro.

Conjunto solução:

    $\mathsf{S=\left\{x\in\mathbb{R}:~~x=\dfrac{\pi}{6}\cdot (1+12k)\quad ou\quad x=\dfrac{\pi}{2}\cdot (1+4k),~~com~k\in\mathbb{Z}\right\}.}$

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Bons estudos! :-)