Question

$3. Calcule\ o\ determinante\ da\ matriz\ transposta\ de\ A, sendo\ A=\left[\begin{array}{ccc}2&4&2\\1&0&9\\-4&3&6\end{array}\right] \\ \\\\4. Dadas\ as\ matrizes\ quadradas\ A=\left[\begin{array}{ccc}5&2\\3&1\end{array}\right] e\ B=\left[\begin{array}{ccc}2&4&2\\1&0&9\\-4&3&6\end{array}\right]\\ , calcule\ o\ produto\ entre\ os\ determinantes\ das\ matrizes\ A\ e\ B\ ( det\ A\ .\ det\ B)$

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos cada uma das alternativas, devemos relembrar algumas propriedades do cálculo de determinantes de matrizes de ordem 2 e 3.

3. Calcule o determinante da matriz transposta de $A=\begin{bmatrix}2&4&2\\1&0&9\\-4&3&6\\\end{bmatrix}$

Para isso, lembre-se que o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta, logo $\det A = \det A^t$.

Dessa forma, passe esta matriz para a notação de determinante:

$\det A=\begin{vmatrix}2&4&2\\1&0&9\\-4&3&6\\\end{vmatrix}$

Para calcularmos este determinante, utilize a Regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e encontrarmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$\det A= \left|\begin{matrix}2&4&2\\1&0&9\\-4&3&6\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}2&4\\1&0\\-4&3\end{matrix}\right.$

Aplique a regra de Sarrus:

$\det A = 2\cdot0\cdot 6 + 4\cdot 9\cdot (-4)+2\cdot 1\cdot 3-(4\cdot1\cdot6+2\cdot9\cdot3+2\cdot0\cdot(-4))$

Multiplique os valores

$\det A = -144+6-(24+54)$

Efetue a propriedade de sinais

$\det A = -144+6-24-54\\\\\\\ \boxed{\det A = -216}$

4. Dadas as matrizes quadradas $A=\begin{bmatrix}5&2\\3&1\\\end{bmatrix}$ e $B=\begin{bmatrix}2&4&2\\1&0&9\\-4&3&6\\\end{bmatrix}$, devemos calcular o produto entre seus determinantes.

Para calcular o determinante da matriz A, utilizamos a Regra de Sarrus para matrizes de ordem 2. Basicamente, consiste em encontrar a diferença entre o produto dos elementos das diagonais principal e secundária.

Passemos a matriz para a notação de determinante

$\det A =\begin{vmatrix}5&2\\3&1\\\end{vmatrix}$

Aplique a regra de Sarrus:

$\det A =5\cdot1-2\cdot3$

Multiplique e some os valores

$\det A =5-6\\\\\\ \det A=-1$

Em se tratando da matriz B, observe que ela é a mesma matriz que calculamos o determinante no exercício anterior. Logo, fazendo-se valer do valor que encontramos anteriormente, teremos:

$\det B=-216$

Então, multiplique os valores

$det A \cdot \det B=(-1)\cdot(-216)\\\\\\ \boxed{\det A\cdot\det B=216}$