Question

$3^{2x} - 5 * 3^{x} + 6 = 0$

Answer 1

Resposta:

X = log 2 / log 3

X = 1

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, podemos observar nesta equação uma forma parecida com a de uma equação da segundo grau, o que nos impede de fazer uma equação de segundo grau é o fato de existirem dois expoentes. Para resolvermos isso, vamos pegar este $3^{x}$ e igualar ele a y. Assim, a fórmula viraria:

$y^{2} - 5y + 6 = 0$

Pronto, agora já temos o molde da equação de segundo grau.

Como sabemos, a forma da equação de segundo grau é:

$ax^{2} + bx + c = 0$

Então, podemos começar a achar os valores A, B e C na fórmula:

A = 1

B = -5

C = 6

Agora precisamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver:

$x = \frac{-b+- \sqrt{d}} {2a} \\\\\\d = b^{2}-4ac$

Primeiro eu irei calcular o Delta(Δ),

b² - 4ac

(-5)² - 4*1*6

25 - 24

1

Delta(Δ) = 1

Agora uso a fórmula do X

(-b ± $\sqrt{d}$)/2a

(-(-5) ± 1)/2*1

(5±1)/2

y = 6 / 2 = 3

y = 4 / 2 = 2

y = [2,3]

Então, Y pode ser tanto o 2 quanto o 3

(Há um gráfico anexado a esta resposta que mostra o gráfico desta função do segundo grau, nele, pode-se observar que a linha só cruza pelo eixo X quando o valor de X é 2 ou 3)

Mas enfim, o Y foi apenas um valor que eu criei para tornar possível esta conta. O Y na verdade é $3^{x}$.

Então, se Y é igual a 2 e 3 e Y também é $3^{x}$, então 2 e 3 são

Na situação do 3:

Y = 3, Y = $3^{x}$, logo $3^{x} = 3$. E nessa situação, X = 1, já que 3 elevado a 1 é igual a 3.

Na situação do 2:

Y = 2, Y = $3^{x}$, logo, $3^{x} = 2$. E neste caso, teremos de usar logaritmos para encontrar a resposta, se 3 elevado a X é igual a 2. Significa que X é o logaritmo de 2 na base 3.

X = log₃2, porem, temos esta fórmula dos logaritmos:

logₐb = log b / log a

Então portanto, log₃2 = log 2 / log 3

Finalização:

Então assim, temos dois valores possíveis para X

X = log 2 / log 3 ≅ 0,625

X = 1

Segue então, mais um gráfico, agora para mostrar o X nesta equação.

Obrigado, espero ter ajudado. <3