Question

$10^{2x-1} -11 .  10^{x-1} +1 = 0$

Answer 1

$10^{2x-1}-11\cdot 10^{x-1}+1=0\\\\ 10^{2x}\cdot 10^{-1}-11\cdot 10^x\cdot 10^{-1}+1=0\\\\ 10^{2x}\cdot \dfrac{1}{10}-11\cdot 10^x\cdot \dfrac{1}{10}+1=0\\\\\\ \dfrac{1}{10}\cdot (10^x)^2-\dfrac{11}{10}\cdot 10^x+1=0$


Multiplicando os dois lados da equação acima por $10$

$(10^x)^2-11\cdot 10^x+10=0$


Fazendo a seguinte mudança de variável

$10^x=t~~~~(t>0)$


a equação fica

$t^2-11t+10=0$


Esta é uma equação de 2º grau na variável $t\,,$ e podemos resolvê-la por qualquer método conveniente. Vou usar a fórmula resolutiva de Báscara.

$t^2-11t+10=0~~~\Rightarrow~~\left\{\! \!\begin{array}{l} a=1\\b=-11\\c=10 \end{array}\right.\\\\\\ \Delta=b^2-4ac\\\\ \Delta=(-11)^2-4\cdot 1\cdot 10\\\\ \Delta=121-40\\\\ \Delta=81$

$t=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\\ t=\dfrac{-(-11)\pm \sqrt{81}}{2\cdot 1}\\\\\\ t=\dfrac{11\pm 9}{2}\\\\\\ \begin{array}{rcl} t=\dfrac{11-9}{2}&~\text{ ou }~&t=\dfrac{11+9}{2}\\\\ t=\dfrac{2}{2}&~\text{ ou }~&t=\dfrac{20}{2}\\\\ t=1&~\text{ ou }~&t=10 \end{array}$


Ambos os valores encontrados satisfazem a restrição $t>0.$ Substituindo de volta para a variável original $x\,,$ devemos ter

$\begin{array}{rcl} 10^x=1&~\text{ ou }~&10^x=10\\\\ 10^x=10^0&~\text{ ou }~&10^x=10^1 \end{array}\\\\\\ ~~~~~~~~\;\boxed{\begin{array}{c}\begin{array}{rcl} x=0&~\text{ ou }~&x=1 \end{array} \end{array}}$


O conjunto solução é $S=\{0,\,1\}.$