Question

[tex]1) Determine a equação da reta tangente à curva y = f (x) no ponto de abscissa indicada:a) f(x)=x² x=2 b) f(x)= x x=9

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~f(x)=4x-4~|~b)~f(x)=x}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para determinarmos a equação da reta tangente em cada caso, utilizaremos alguns conceitos estudados em geometria analítica e derivadas.

Observe que dada uma função $y=f(x)$, ao buscarmos uma reta tangente a ela no ponto $x_0$, utilizamos a equação do feixe de retas:

$y-y_0=m\cdot(x-x_0)$, tal que $m$ é o coeficiente angular da reta naquele ponto.

Sabendo que este coeficiente angular é a derivada da função no ponto, reescrevemos $m=f'(x_0)$ e teremos:

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$

Esta é a equação da reta tangente à curva no ponto.

Então, temos as seguintes alternativas:

a) $f(x)=x^2,~~x_0=2$

Para calcularmos a derivada desta função, utilizamos a regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$, logo teremos

$f'(x)=2x$

Substituindo estes dados e o valor de $x_0$ na equação da reta tangente, teremos

$f(x)=2^2+2\cdot 2\cdot(x-2)$

Calcule a potência e multiplique os valores, efetuando a propriedade distributiva

$f(x)=4+4\cdot(x-2)\\\\\\ f(x)=4+4x-8$

Some os termos semelhantes

$f(x)=4x-4$

Esta é a equação da reta tangente à curva $f(x)=x^2$ no ponto indicado.

b) $f(x)=x,~~x_0=9$

Aplicamos novamente a regra da potência, sabendo que $x=x^1$

$f'(x)=1$

Dessa forma, substituindo as informações que temos na equação do feixe de retas, temos

$f(x)=9+1\cdot(x-9)$

Multiplique os valores

$f(x)=9+x-9$

Cancele os termos opostos

$f(x)=x$

Esta é a equação da reta tangente à curva no ponto indicado.