Question

Teoria dos números. Critério de divisibilidade.

Seja a um algarismo e b ∈ ℕ*. Considere o número natural n

     n = 10b + a

(a é o algarismo das unidades de n, e b é o número formado pelos algarismos restantes).


Nessas condições, justifique a proposição

     b + 4a é divisível por 13 se, e somente se, n é divisível por 13.

Answer 1

Como $\mathsf{13~|~13b}$ e $\mathsf{13~|~13a}$, segue que $\mathsf{13~|~13b+13a=13(b+a)}$

A diferença entre dois múltiplos de $13$ também é um múltiplo de $13$

Se $\mathsf{13~|~10b+a}$, podemos afirmar que $\mathsf{13~|~13(b+a)- (10b+a)}$, ou seja, $\mathsf{13~|~3b+12a}$

Colocando $\mathsf{3}$ em evidência, vemos que $\mathsf{13~|~3(b + 4a)}$. Como $\mathsf{\text{mdc}(13,3)=1}$, $\mathsf{13}$ e $\mathsf{3}$ são primos entre si, logo $\mathsf{13~|~b+4a}$

Analogamente, se $\mathsf{13~|~b+4a}$, segue que $\mathsf{13~|~13(b + a)-3(b+4a)}$, isto é, $\mathsf{13~|~10b+a}$