Question

Teoria dos limites e derivadas, Seja y= 1/x-2 determine dy/dx

Preciso do desenvolvimento do calculo

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: y = \frac{1}{x - 2} \: \: \bullet$

Para derivar esta função, devemos utilizar a regra do quociente, já que temos a divisão entre duas funções. A expressão desta regra é dada por:

$\boxed{ \frac{d}{dx} \left( \frac{g(x)}{h(x)} \right) = \frac{ \frac{d}{dx}(g(x)) \: . \: h(x) - g(x) \: . \: \frac{d}{dx} (h(x))}{(h(x)) {}^{2} }}$

Usando esta teoria, vamos normear as funções para facilitar o entendimento, então:

$\: \: \: \: \: \: g(x) = 1 \: \: e \: \: h(x) = x - 2$

Substituindo os dados na relação:

$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x - 2} \right) = \frac{ \frac{d}{dx}(1) \: . \: (x - 2) - 1\: . \: \frac{d}{dx}(x - 2) }{((x - 2) {}^{2} }$

Como sabemos, a derivada de uma função constante é igual a 0, portanto:

$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x - 2} \right) = \frac{0 \: . \: (x - 2) - 1 \: . \: \frac{d}{dx}(x - 2) }{(x - 2) {}^{2} } \\ \\ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x - 2} \right) = \frac{ - 1 \: . \: \frac{d}{dx}( x - 2) }{(x - 2) {}^{2} }$

Para a outra derivada, basta utilizar a regra da potência:

$\frac{d}{dx}(x - 2) = \frac{d}{dx} (x) - \cancel{ \frac{d}{dx} (2) }\\ \\ \frac{d}{dx} (x - 2 ) = 1$

Substituindo este resultado:

$\: \: \: \: \: \: \:\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x - 2} \right) = \frac{ - 1 \: . \: 1}{(x - 2) {}^{2} } \\ \\ \boxed{ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x - 2} \right) = \frac{ - 1}{(x - 2) {}^{2} } }$

Espero ter ajudado