Question

Teorema do passo da Montanha e uma aplicação

Answer 1

O teorema do passo da montanha é enunciado da seguinte maneira:

 Sejam (X,||.||) um espaço de Banach e I\in C^1(X,\R) com I(0)=0. Suponha que I satisfaça as seguintes condições geométricas:

(g_1)Existem r>0 e \alpha\in \R tais que I(u)\geq \alpha para todo u\in S_r:=\{v\in X: ||v||=r\};

(g_2) I(0)<\alpha e I(w)<\alpha para algum w\in X com ||w||>r.
Definindo

\Gamma=\{\gamma\in C([0,1],X): \gamma(0)=0,\gamma(1)=e\}

 tal que c:=\inf_{\gamma\in \Gamma}\sup_{t\in [0,1]}I(\gamma(t)). Então, se I satisfaz a condição de Palais-Smale, então $I$ terá um ponto crítico em X\setminus\{0,w\} com correspondente valor crítico c\geq \alpha.



Você pode apliaca-lo ao seguinte problema que deixarei no formato tex, caso queira compilar,


$$(P) \left\{ \begin{array}{ccc} -\displaystyle\vartriangle u= \lambda f(u)+|u|^{2^*-2}u &,& \Omega , \\ & &\\ u=0 &,& \partial\Omega . \end{array} \right. $$ $\Omega$ limitado em $\R^N$. \begin{itemize} \item[$(f_1)$]$\lim_{s\to 0}\displaystyle\frac{f(s)}{s}=0$ \item[$(f_2)$]$\lim_{s\to\infty}\sup\displaystyle\frac{f(s)}{s^{q-1}}<\infty$. \item[$(f_3)$]$\exists\theta>2$ e $R>0$ tal que $0<\theta F(s)\leq f(s)s$, $\forall |s|\geq R$. \end{itemize}
{\Obs\label{7} De $(f_1)$ e $(f_2)$, temos

\begin{equation} |f(s)|\leq \varepsilon|s|+M|s|^{q-1}, \forall \varepsilon<|s|<R,\;\mbox{com}\; 0<M. \end{equation} }

Além disso, podemos destacar:

 De $(f_3)$ e da Observação, segue-se $$|F(s)|\leq \displaystyle\frac{\varepsilon}{2}|s|^2+\displaystyle\frac{M}{q}|s|^q$$ } Também temos o seguinte:

Assumindo a validade de $(f3)$, existe $C_4, C_5>0$ tal que $$F(s)\geq C_4s^\theta-C_5$$ } O funcional associado ao problema $(P)$ é dado por $$I(u)=\frac{1}{2}\displaystyle\int_\Omega|\nabla u|^2-\lambda\displaystyle\int_\Omega F(u)-\frac{1}{2}\int_\Omega|u|^{2^*}$$

 

Answer 2

Ferramenta de fundamental importância na demonstração do Teorema do Ponto de Sela