Question

(teorema do confronto)- demonstre que...

Answer 1

Olá!
 
    Você deve encontrar um par de funções (g e h) que satisfaça g < f < h, e cujos limites quando x se aproxima de zero pela direita sejam iguais a zero.

Note que a exponencial jamais se anula. Então,

$\sqrt{x}\cdot e^{\sin(\pi/x)}\ \textless \;x\cdot e^{\sin(\pi/x)}$

pois a raiz quadrada de um número é sempre menor que o próprio número.

Agora veja que  $\sqrt{x}<\sqrt{x}\cdot e^{\sin(\pi/x)}$

Então, temos

$\sqrt{x}\ \textless \ \sqrt{x}\cdot e^{\sin(\pi/x)}\ \textless \ x\cdot e^{\sin(\pi/x)} \\ \\e \\ \\ \lim_{x\to0^+}\sqrt{x}=0=lim_{x\to0^+}x\cdot e^{\sin(\pi/x)}$

Portanto, pelo Teorema do Confronto,

$\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}\cdot e^{\sin(\pi/x)}=0$

Bons estudos!