Question

Teorema de Green integral de linha

(y + e^√x)dx + (2x + cos y2^2)dy
onde C ´e o arco da par´abola y = x^2 de (0, 0) a (1, 1), seguido do arco da parabola x = y^2 de (1, 1) a (0, 0).

Answer 1

Veja a imagem da curva. Essa está orientada positivamente (pois está no sentido anti-horário), e é uma curva fechada.

Note, também, que as componentes de $F=(P,Q)=(\,y+e^{\sqrt{x}},~2x+cos^{2}(y^{2})\,)$ possuem derivadas parciais contínuas no interior de C

Então, pelo Teorema de Green, temos

$\displaystyle\int_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\bigg[\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\bigg]\,dx\,dy$

Mas

$\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(2x+cos^{2}(y^{2}))=2\\\\\\\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(y+e^{\sqrt{x}})=1\\\\\\\Rightarrow~~\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=2-1=1$

Então:

$\displaystyle\int_{C}P\,dx+Q,dy=\iint_{D}1\,dx\,dy=\mathtt{area}(D)$

Pelo Teorema de Fubini, podemos considerar x variando entre extremos fixos $(0\le x\le1)$ e, para cada x fixo, y varia de $y=x^{2}$ a $y^{2}=x~\Rightarrow~y=\sqrt{x}$ (pois estamos no 1º quadrante)

Logo:

$\displaystyle\int_{C}P\,dx+Q\,dy=\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}dy\,dx=\int_{0}^{1}\bigg[y\bigg]_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}}\,dx\\\\\\=\int_{0}^{1}(\sqrt{x}-x^{2})\,dx=\int_{0}^{1}(x^{1/2}-x^{2})\,dx=\bigg[\dfrac{2}{3}x^{3/2}-\dfrac{x^{3}}{3}\bigg]_{0}^{1}\\\\\\=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\\\\\\\Rightarrow~~\boxed{\boxed{\int_{C}P\,dx+Q\,dy=\dfrac{1}{3}}}$