Matemática, perguntado por wjs1104, 2 meses atrás

Tenho um desafio que eu não soube resolver, vou tentar explicar de um jeito simples:

Sabe a esteira de academia? elas tem vários níveis de velocidade, digamos que seja do 1 ao 4, agora digamos que você queira fazer um exercício de 3 minutos na esteira, mas com algumas restrições, você pode pegar qualquer nível inicialmente mas só pode ficar nele por um minuto, no próximo tem que aumentar ou diminuir o nível da esteira (se estiver no 1 só pode ir pro dois, se estiver no 3 pode ir pro 4 ou descer pro 2).
A pergunta é, quantos programas diferentes podem ser criados de exercícios nessa esteira com essas restrições?

eu não consegui pensar numa fórmula ou algo assim, usando os exemplos acima o resultado é 10 (dá pra fazer na mão):

1 2 3
1 2 1
2 3 4
2 3 2
2 1 2
3 4 3
3 2 3
3 2 1
4 3 4
4 3 2

só um exemplo, mas queira algo mais matemático (uma fórmula ou lógica) ou algo mais "algorítimico"

Soluções para a tarefa

Respondido por gabrielcguimaraes

Sempre, em qualquer das 3 "etapas" de velocidades, que você escolher um número dos extremos (1 ou 4), haverá somente 1 prosseguimento para a próxima etapa, assim como sempre que você escolher um número do meio (neste caso, 2 ou 3) haverá 2 prosseguimentos para a seguinte etapa. Considerando isso, temos que:

Etapa um - Você tem 2 opções de extremo e 2 de meio.

Etapa dois:
- Os extremos da etapa um se tornaram meios nesta etapa, ou seja, a etapa dois terá pelo menos 2 meios.

- Os meios podem, cada um, se tornar um extremo ou se tornar outro meio. Desse modo, a etapa dois pode ter 2 meios ou 2 extremos.

Total da etapa dois: 4 meios e 2 extremos

Etapa três:
- Cada um dos 2 extremos da etapa dois só tem uma possibilidade (não importa qual pois esta é a última etapa).

- Cada um dos 4 meios tem duas possibilidades de prosseguimento.

Somando todas as opções da etapa três (os 2 extremos, de 1 possibilidade cada, e os 4 meios, de 2 possibilidades cada):
$2 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 10$

---------------------------------

Este método claramente não é muito efetivo, porém, acredito eu, é ligeiramente superior a escrever todos os casos. Se você desejar fazer a mesma atividade com mais do que 4 números, acho que você deveria implantar uma terceira categoria (além de extremo e meio), que seria o meio que só tem outros meios ao redor. Aumentaria um pouco a complexidade, mas se tornaria viável para qualquer quantidade superior a 4 de velocidades de esteira.

wjs1104: Fala amigo, sua explicação acabou me dando uma ideia pra resolver esse problema, consegui uma solução bem eficiente (pro computador), não consegui uma fórmula mas deu pra resolver.
No final era tudo uma questão de perspectiva, eu percebi que havia um padrão dos "extremos" e "meios" de acordo com os mesmos anteriores, dá pra perceber se você escrever os números e as possibilidades em cima

wjs1104: Exemplo simples para 3 1 4:
1 2 3 4 no início todos tem 1 de possibilidade (já que podemos iniciar com qualquer um), sendo assim temos: 1 1 1 1 (escreve menor em cima pra visualizar melhor)
Em seguida, os extremos viram meios, e os meios podem virar extremos ou meios, a questão é que cada "número" é interferido pelos que estão ao seu redor (o 2 é interferido diretamente pelo 3 e 1; o 1 recebe interferência direta do 2)

wjs1104: Assim começamos a entender alguns padrões, os "da borda" (os extremos), são alterados pelos "meios da borda" (os que ficam do lado da borda), as possibilidades anteriores dele acabam virando as possibilidades dos extremos

wjs1104: 1 2 3 4 (1 1 1 1)
1 2 3 4 (1 2 2 1) o "1" do 2 da linha anterior, vira o "1" do 1 dessa linha, o mesmo vale pro 4 e 3. Assim pense na seguinte possibilidade

X X X X (1 2 2 1), independente dos números, é certo que o primeiro X vai ter "2" na próxima linha
X X X X (2 . . 2)

wjs1104: Isso para os extremos, ele só recebem interferência de um elemento, já que estão na borda.
Agora para os do meio, como ele podem fazer "dois movimentos", ele acabam interferindo para a esquerda e para a direita, isso significa que cada meio depende do que está ao seu redor, seu número de possibilidades vai depender das possibilidades anteriores dos elementos ao redor

wjs1104: 1 2 3 4 (1 1 1 1)
1 2 3 4 (1 2 2 1) perceba que o 1 e 3 da linha anterior tinha "1", como ele interferem o 2 na próxima etapa, o 2 acaba com "2" (1+1), o mesmo vale pro 3, com o 2 e 4 interferindo ele. Isso acontece pois o 4 vai poder mover uma vez para o 3, e o 2 pode mover uma vez para o 3 também, e como só temos "1" 2 e 4, temos que ele só vão parar ambos uma única vez no 3

Espero não estar ficando confuso hahaha

wjs1104: 1 2 3 4 (1 1 1 1)
1 2 3 4 (1 2 2 1) sendo assim, sabemos com certeza que o 2 da próxima etapa vai ter "3", pois de novo o 3 pode mover uma vez para o 2, e o 1 pode mover uma vez para o 2, mas temos "dois 3" (quer dizer que nessa etapa há 2 possibilidades de pararmos no 3), sendo assim o 2 na próxima etapa pode "ser escolhido" em 3 possibilidades diferentes, em 3 sequências de esteira diferentes, faz sentido?

Aí é só continuar, vai ver que o resto é bem simples, a base é a mesma da sua lógica.

wjs1104: No final é só somar todas as possibilidades e temos o mesmo resultado

gabrielcguimaraes: Olá, camarada, é bom ver que você conseguiu chegar a uma solução, e que eu consegui ajudar de algum modo. Não entendi o que seria "exemplo simples para 3 1 4", o que significaria este número?

wjs1104: 3 minutos 4 elementos

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