Question

tenho que descobrir a razão de uma PA crescente onde :
a1+a9=8 e a3.a7=7
não consigo encontrar a razão pela multiplicação dos termos a3.a7
como devo realizar este calculo?

Answer 1

 Fórmula geral da P.A.: $a_n=a_1+(n-1).r$

$a_n$ = n-ésimo termo;

$a_1$ = primeiro termo;

$n$ = termo;

$r$ = razão.

 Com esses dois valores que a questão da podemos fazer um sistema de equações:

$\left \{ {{a_1+a_9=8} \atop {a_3.a_7=7}} \right. \\\left \{ {{a_1+(a_1+(9-1).r)=8} \atop {(a_1+(3-1).r).(a_1+(7-1).r=7}} \right. \\\left \{ {{a_1+a_1+8.r=8} \atop {(a_1+2.r).(a_1+6.r)}} \right.\\\left \{ {{2.a_1+8.r=8} \atop {(a_1)^2+2.r.a_1+6.r.a_1+(2.r).(6.r)=7}} \right. \\\left \{ {{a_1+4.r=4} \atop {(a_1)^2+8.r.a_1+12.r^2=7}} \right.$

 Vamos resolver esse sistema pelo método de substituição. Como queremos encontrar a razão, vamos encontrar o valor de $a_1$ na primeira e substituir na segunda.

$\left \{ {{a_1+4.r=4} \atop {(a_1)^2+8.r.a_1+12.r^2=7}} \right.\\\\\\a_1 = 4 -4.r\\\\( 4 -4.r)^2 +8.r.( 4 -4.r) + 12.r^2 = 7\\16 -32.r +16.r^2 +32.r -32.r^2 +12.r^2=7\\16 +16.r^2 -32.r^2 +12.r^2 = 7\\-16.r^2 +12.r^2 = 7 -16\\-4.r^2 = -9\\4.r^2 = 9\\r^2 = 9/4\\r = \sqrt{9/4}\\r = 3/2$

Dúvidas só perguntar XD