Question

Tenho essas duas questões pra resolver só que eu só tenho a resolução não tenho o modo como resolve-las será que alguem pode me ajudar? to com dificuldade nessa matéria :x

2) Os números -2 e 3 são duas raízes da equação 2x³ - x² + mx + n = 0, em que m e n pertencem aos
reais. Determine a terceira raiz da equação e os valores de m e n.
3) (EEM-SP) Determine as raízes da equação x³ - 3x – 2 = 0 sabendo que uma delas é dupla.

2) x3 = -1/2; m = -13; n = -6
3) -1 e 2

Answer 1

2) Considere um polinômio $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0$ de raízes $x_1,x_2,\dots,x_n.$

Pelas relações de Girard sabemos que $x_1+x_2+\dots+x_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n}.$ 

Para o nosso polinômio específico, $n=3, x_1=-2, x_2=3, a_3=2, a_2=-1 \\ \Rightarrow-2+3+x_3=\frac{1}{2}\Leftrightarrow{}x_3=-\frac{1}{2}.$

Com isso, podemos agora reescrever o polinômio em sua forma fatorada:

$2(x+2)(x-3)(x+\frac{1}{2})=2x^2-x^2-13x-6\Rightarrow\boxed{\begin{cases}m=-13 \\ n=-6\end{cases}}$

3) Reutilizando a notação do exercício 2, temos $n=3, a_3=1, a_2=0, a_0=-2.$
Seja $x$ a raíz dupla, e $y$ a outra raíz. Novamente pelas relações de Girard, temos que 

$x+x+y=-\frac{a_2}{a_3}=0\Rightarrow{}2x=-y$

E também que

$xxy=-\frac{a_0}{a_3}=2$

Substituindo a equação anterior:

$-2x^3=2\Rightarrow x=-1\Rightarrow{}y=2$

E assim as soluções da equação são do conjunto

$\boxed{S=\{-1, 2\}}$