Question

Tenho 5 livros, dos quais dois são de Geografia. De quantos modos posso arrumá-los de
modo que os dois de Geografia nunca estejam juntos?

Answer 1

O total de formas que podemos permutar todos os livros, independente de qual matéria seja é

$P_{5}=5!=120$

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Uma configuração para que os dois livros de geografia fiquem juntos é

$\underline{\,G\,}\;\underline{\,G\,}\;\underline{\,H\,}\;\underline{\,I\,}\;\underline{\,J\,}$


Onde $G$ representa um dos livros de geografia,

$H,\,I,\,J$ livros de outras matérias.


Nessa configuração, podemos imaginar como se os dois livros de geografia estivessem colados, como se fosse um único livro. assim:

$\underset{1}{\underline{\,G\,G\,}}\;\underset{2}{\underline{\,H\,}}\;\underset{3}{\underline{\,I\,}}\;\underset{4}{\underline{\,J\,}}$


Então, o número total de formas onde dois livros de geografia estão juntos é

$P_4\cdot P_2\\\\ =4!\cdot 2!\\\\ =24\cdot 2\\\\ =48$

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Logo, o número de formas que podemos arrumar de modo que dois livros de Geografia não estejam juntos é

$120-48=\boxed{\begin{array}{c}72\mathrm{~maneiras} \end{array}}$


Bons estudos! :-)