Question

Tenha a bondade de resolver essa integral para mim ?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\int_{^-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\sec^6x\,dx=\dfrac{56}{15}~~\checkmark}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos a seguinte integral, devemos nos relembrar de algumas técnicas de integração.

Seja a integral $\displaystyle{\int_{^-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\sec^6x\,dx$.

Lembre-se que podemos reescrever a integral indefinida como $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=\int _a^cf(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx}$, logo teremos:

$\displaystyle{\int_{^-\frac{\pi}{4}}^0\sec^6x\,dx+\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec^6x\,dx$

Então, sabendo que a função secante é par, ou seja, $\sec(x)=\sec(-x)$, podemos ver que as duas parcelas são iguais e teremos:

$\displaystyle{\int_{^-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\sec^6x\,dx=2\cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sec^6x\,dx$

Para resolvermos esta integral, reescrevemos $\sec^6x$ como o produto $\sec^4x\cdot \sec^2x$

$\displaystyle{2\cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sec^6x\,dx=2\cdot\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec^4x\cdot\sec^2x\,dx$

Lembre-se que $\sec^2x=\tan^2x+1$, logo podemos reescrever $\sec^4(x)=(\sec^2x)^2=(\tan^2x+1)^2$, assim teremos:

$\displaystyle{2\cdot\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\tan^2x+1)^2\cdot\sec^2x\,dx$

O motivo para que mantivéssemos $\sec^2x$ é que faremos uma substituição. Seja $u=\tan x$. Diferenciamos ambos os lados a fim de encontrarmos o diferencial $du$:

$u'=(\tan x)'$

Reescrevendo $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, teremos

$du=\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)'$

Aplique a regra da cadeia e do quociente:

$du=\dfrac{(\sin x) '\cdot \cos x-\sin x\cdot (\cos x) '}{\cos^2x}\,dx$

Sabendo que $(\sin x)'=\cos x$ e $(\cos x)'=-\sin x$, teremos

$du=\dfrac{\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2x}\,dx$

Multiplique os valores

$du=\dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}\,dx$

Sabendo que $\cos^2x+\sin^2x=1$

$du=\dfrac{1}{\cos^2x}\,dx$

Sabendo que $\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$

$du=\sec^2x\,dx$

Veja que este termo já faz parte da integral, logo substituímos estes valores. Porém, devemos também alterar os limites de integração: quando $x\rightarrow 0,~u\rightarrow\tan(0)=0$ e $x\rightarrow\dfrac{\pi}{4},~u\rightarrow\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1$, assim teremos

$\displaystyle{2\cdot\int_0^{1}(u^2+1)^2\,du$

Expanda o binômio, lembrando que $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$\displaystyle{2\cdot\int_0^{1}u^4+2u^2+1\,du$

Calcule a integral

$\displaystyle{2\cdot\left(\dfrac{u^5}{5}+2\cdot\dfrac{u^3}{3}+u\right)~\biggr|_0^1$

Lembre-se que de acordo com o Teorema fundamental do cálculo, a integral de uma função contínua em um dado intervalo $[a,~b]$ é dada por: $\displaystyle{\int_a^b f(x),dx=F(x)~\biggr|_a^b =F(b)-F(a)$, tal que $F(x)$ é uma primitiva da função $f(x)$ e $\dfrac{d(F(x))}{dx}=f(x)$, logo

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{2\cdot\left(\dfrac{1^5}{5}+2\cdot\dfrac{1^3}{3}+1-\left(\dfrac{0^5}{5}+2\cdot\dfrac{0^3}{3}+0\right)\right)$

Calcule as potências e multiplique os valores

$\dfrac{2}{5}+\dfrac{4}{3}+2$

Some as frações

$\dfrac{2\cdot 3+4\cdot 5+2\cdot 15}{15}$

Multiplique e some os valores

$\dfrac{6+20+30}{15}\\\\\\ \dfrac{56}{15}$

Este é o resultado desta integral.