Question

Tendo um conjunto de pares ordenados cuja função é desconhecida, ou muito complexa, você determina uma função mais simples, que se aproxima da função original, e também determina pares ordenados não existentes nesse conjunto; usamos os métodos de interpolação para que isso aconteça. A interpolação polinomial é uma forma de se obter uma aproximação para uma função f(x) que descreve um conjunto de dados. Suponha que você deseje fabricar por conta própria um Papai Noel feito de um chocolate especial para presentear uma criança carente que sofre de problemas alimentares no natal. No entanto, existem apenas dois pacotes desse chocolate especial à venda no mercado, a saber: o pacote de 700 gramas custa R$ 48,00 reais e o pacote de 1300 gramas custa R$ 75,00 reais. Sabendo que a forma que possui utilizaria exatamente 780 gramas de chocolate, você gasta R$ 75,00 reais no pacote de 1300 gramas, mas fica inconformado por saber que poderia gastar bem menos se comprasse exatamente 780 gramas.

Utilizando e aplicando seus conhecimentos sobre interpolação polinomial, bem como o exemplo abaixo de polinômios com utilização de pares ordenados, que valor em reais acrescido de centavos seria gasto se pudesse comprar exatamente os 780 gramas?

Answer 1

Vamos definir uma função P(x), onde P representa o preço do chocolate e x representa a quantidade, em gramas. São dados dois pontos da função:

$x_0=700,~y_0=48\Longrightarrow P(700)=48\\\\ x_1=1300,~y_1=75\Longrightarrow P(1300)=75$

Isto é, o preço de 700 gramas é R$ 48,00 e o preço de 1300 gramas é R$ 75,00. O enunciado pede para que estimemos um valor para 780 gramas.

Nossa função P(x) não está definida, sabemos apenas dois de seus pontos. O enunciado diz que, nesse caso, podemos usar os métodos interpolação. Utilizando o método de interpolação polinomial dado no exemplo:

$P(x)=y_0+\dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)\\\\ P(x)=48+\dfrac{75-48}{1300-700}(x-700)\\\\ P(x)=48+\dfrac{27}{600}(x-700)\\\\ P(x)=48+\dfrac{9}{200}(x-700)$

Estimando o valor para P(780) (isto é, o preço de 780 gramas):

$P(x)=48+\dfrac{9}{200}(x-700)\\\\ P(780)=48+\dfrac{9}{200}(780-700)\\\\ P(780)=48+\dfrac{9}{200}\cdot80\\\\ P(780)=48+3,6\\\\ \boxed{P(780)=51,6}$

Logo, o preço estimado para 780 gramas de chocolate é de R$ 51,60.