Question

tendo so números complexos Z e W Tais que: Z= 2+5i e W=a+bi. Sabe-se que Z+W é um número real puro e Z*W é um númeo imaginário puro. Calcular o valor de (b^2)-(2*a).

Answer 1

Olá!

Resposta:

b² - 2a = 50

Explicação passo a passo:

Z + W = (2 + a) + (5 + b)i

Se Z + W = Real Puro, então

(5 + b)i = 0i

5 + b = 0

b = -5

ZW = (2 + 5i) · (a - 5i)

ZW = 2 · a + 2 · (-5i) + 5i · a + 5i · (-5i)

ZW = 2a - 10i + 5ai - 25i²

ZW = 2a - 10i + 5ai + 25

ZW = 2a + 25 + (-10 + 5a)i

Se ZW = Imaginário Puro, então

2a + 25 = 0

2a =  -25

a = $-\frac{25}{2}$

Antes de calcular o valor de b² - 2a, conforme pede o enunciado, vamos confirmar se os valores encontrados correspondem à condição imposta pelo enunciado, repetindo os cálculos utilizando todos os valores:

Z = 2 + 5i e W = $-\frac{25}{2}$ - 5i

Z + W = 2 + 5i + $(-\frac{25}{2})$ - 5i

Z + W =  2 + 5i - $\frac{25}{2}$ - 5i

Z + W = 2 - $\frac{25}{2}$ + 5i - 5i

Z + W = $\frac{4}{2}$ - $\frac{25}{2}$ + 0

Z + W = $-\frac{21}{2}$

Z + W = Real Puro

ZW = (2 + 5i) · $(-\frac{25}{2} - 5i)$

ZW = 2 · $(-\frac{25}{2})$ + 2 · 5i + 5i · $(-\frac{25}{2} )$ + 5i · (-5i)

ZW = -25 + 10i $-\frac{125}{2} i$ - 25i²

ZW = -25 $-\frac{105}{2}$i + 25

ZW = $-\frac{105}{2}$

ZW = Imaginário Puro

Agora, finalmente calculamos o valor de b² - 2a:

(-5)² - 2$(-\frac{25}{2} )$ =

25 + 25 = 50

Espero ter lhe ajudado.

Abraços!