Question

tendo que sen x = -√3/2, com π/2 < x < π, determine o valor de cos x.

Dado sen x = -1/2, com 0 < x< π/2, calcule tg x, cotg x.

dada sec x √2, com 0 < x < π/2, calcule cos x, sen x tg x e cotg x.

dada a sec x - 2, com π/2 < x < π, determine cosec x.​

Answer 1

O exercício nos pede conhecimento acerca de relações trigonométricas. Para resolvê-lo utilizaremos um resultado fundamental, a identidade fundamental, para qualquer x, temos que

$\sin^2(x) + \cos^x(x) = 1$

O primeiro exercício é uma aplicação direta da identidade fundamental, onde pede-se o cosseno a partir do conhecimento do seno de um ângulo, assim,

$\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \cos^2(x) = 1$

$\dfrac{3}{4} + \cos^2(x) = 1$

$\cos^2(x) = 1-\dfrac{3}{4} =\dfrac{1}{4}$

Como π/2 < x < π, ou seja, pertence ao segundo quadrante, o cosseno é negativo, portanto,

$\cos(x) = -\dfrac{1}{2}$

O segundo exercício é mais completo, pedindo boa parte das funções trigonométricas a partir da secante. Sabendo que a secante de um ângulo é dado por

$\sec(x) = \dfrac{1}{\cos(x)} \iff \cos(x) = \dfrac{1}{\sec(x)}$

Teremos que

$\cos(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Com isso, podemos usar nossa identidade,

$\sin^2(x) + \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2= 1$

$\sin^2(x) + \dfrac{2}{4} = 1$

$\sin^2(x) =1- \dfrac{2}{4} =\dfrac{2}{4}$

Como 0 < x < π/2, ou seja, pertence ao primeiro quadrante, o seno deve ser positivo, portanto,

$\sin(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

A tangente de um ângulo é dada pela razão, e o cotangente pelo inverso da tangente,

$\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \hspace{0.7cm} \cot(x) = \dfrac{1}{\tan(x)} = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}$

Sabemos o seno e cosseno, portanto,

$\tan(x) = \dfrac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$

$\cot(x) = \dfrac{1}{\tan(x)} = \dfrac{1}{1} = 1$

A última trata a relação da secante com a cossecante, esta última definida por

$\csc(x) = \dfrac{1}{\sin(x)} \iff \sin(x) = \dfrac{1}{\csc(x)}$

Sabendo a secante, obtemos o cosseno do ângulo, aplicamos a identidade para encontrar o seno, e portanto, a cossecante.

$\cos(x) = \dfrac{1}{-2} = -\dfrac{1}{2}$

$\sin^2(x) + \left(-\dfrac{\sqrt{1}}{2}\right)^2= 1$

$\sin^2(x) +\dfrac{1}{4}= 1$

$\sin^2(x) =1- \dfrac{1}{4}= \dfrac{3}{4}$

Como π/2 < x < π, ou seja, pertence ao terceiro quadrante, o seno é negativo, assim,

$\sin(x) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Portanto, a cossecante

$\csc(x) = -\dfrac{2}{\sqrt{3}} = -\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$