Question

Temos uma sequência formada por 2015 números reais, onde o primeiro é o número 11. Se x é um número nesta sequência, o seguinte é dado por x-1/x+1 . Nessas condições, a soma dos dois últimos números da sequência é:

Answer 1

A soma dos dois últimos números da sequência é igual a $\frac{49}{66}$.

De acordo com o enunciado, temos que se um número da sequência é x, então o próximo é $\frac{x-1}{x+1}$.

Como o primeiro número é 11, então o próximo número será: $\frac{11-1}{11+1}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$.

Se $x = \frac{5}{6}$, então o próximo número é: $\frac{\frac{5}{6}-1}{\frac{5}{6}+1}=\frac{-\frac{1}{6}}{\frac{11}{6}}=-\frac{1}{11}$.

Se $x=-\frac{1}{11}$, então o próximo número é: $x=\frac{-\frac{1}{11}-1}{-\frac{1}{11}+1}=\frac{-\frac{12}{11}}{\frac{10}{11}}=-\frac{6}{5}$.

Se $x=-\frac{6}{5}$, então o próximo número é: $\frac{-\frac{6}{5}-1}{-\frac{6}{5}+1}=\frac{-\frac{11}{5}}{-\frac{1}{5}}=11$.

A partir daí, podemos perceber que a sequência é igual a $11, \frac{5}{6}, -\frac{1}{11}, -\frac{6}{5}, 11, \frac{5}{6}, ...$.

Temos a informação de que a sequência possui 2015 número reais.

Como os números da sequência se repetem de 4 em 4, então temos que:

2015 = 503.4 + 3

ou seja, existem 503 grupos contendo os quatro números que se repetem da sequência mais 3 números.

Sendo assim, os dois últimos números da sequência são $\frac{5}{6}$ e $-\frac{1}{11}$.

Logo, a soma deles é igual a

$\frac{5}{6}-\frac{1}{11}=\frac{49}{66}$.