Question

Temos uma progressão aritmética de 20 termos onde o primeiro termo é igual a 5. A soma de todos os termos dessa progressão aritmética é 480. O décimo termo é igual a?

Answer 1

O décimo termo é 23

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Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números que obedece uma regra: a partir de um número os demais são obtidos a partir da soma de um determinado valor (razão).

O termo geral é                               A soma dos termos é

$a_n=a_1+(n-1)r$                            $S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$

n : número de termos

aₙ : termo geral

a₁ : primeiro termo

r : razão

Sₙ : soma dos termos

No nosso caso

n = 20

a₁ = 5

S₂₀ = 480

a₁₀ = ?

Obtendo o vigésimo termo

$S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}\\\\S_{20}=\frac{(a_1+a_{20})*20}{2} \\\\480=\frac{(5+a_{20})*20}{2}\\ \\480=(5+a_{20})*10\\\\\frac{480}{10} =5+a_{20}\\\\48=5+a_{20}\\\\48-5=a_{20}\\\\a_{20} = 43$

Obtendo a razão

$a_n=a_1+(n-1)r\\\\a_{20}=a_1+(20-1)r\\\\43 = 5+19r\\\\43-5=19r\\\\38=19r\\\\\frac{38}{19} =r\\\\r=2$

Obtendo o décimo termo

$a_n=a_1+(n-1)r\\\\a_{10}=a_1+(10-1)r\\\\a_{10}=5+9*2\\\\a_{10}=5+18\\\\a_{10}=23$

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