Question

temos uma progressão aritmética de 20 termos onde o primeiro termo é igual a 5. a soma de todos os termos dessa progressão aritmética é 480. o décimo termo é igual a: a) 20

Answer 1

Resposta:

O décimo termo da sequência é igual a 23.

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, vamos destacar os dados da Tarefa:

• A sequência é uma Progressão Aritmética finita.
• O número de termos da Progressão Aritmética é igual a 20.
• O primeiro termo da sequência é igual a 5.
• A soma de todos os termos da sequência é igual a 480.

A lei que rege uma Progressão Aritmética é expressa pela seguinte fórmula:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1).r$

Onde:

• an: enésimo termo..
• a1: primeiro termo.
• n: número de termos.
• r: razão.

Uma outra Fórmula igualmente importante, na Progressão Aritmética, é a que fornece a soma dos seus termos:

$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}).n}{2}$

Com os dados da Tarefa, podemos determinar o vigésimo termo da sequência, a partir da Fórmula da Soma dos Termos:

$S_{20} = \frac{(a_{1} + a_{20}).20}{2} \\ 480= \frac{(5+ a_{20}).20}{2} \\2.(480) = 20.(5) + 20.(a_{20}) \\ 960 = 100 + 20a_{20} \\ 960 - 100 = 20a_{20} \\ 860 = 20a_{20} \\ \frac{860}{20} = a_{20} \\ 43 = a_{20} \\ a_{20} = 43$

Agora, vamos proceder ao cálculo da razão da Progressão Aritmética, fazendo uso da Fórmula do Termo Geral:

$a_{20} = a_{1} + (20 - 1).r \\ 43 = 5 + 19r \\ 43 - 5 = 19r \\ 38 = 19r \\ \frac{38}{19} = r \\ 2 = r \\ r = 2$

Igualmente, com o auxílio da Fórmula do Termo Geral da Progressão Aritmética, podemos determinar o décimo termo da sequência:

$a_{10} = a_{1} + (10 - 1).2 \\ a_{10} = 5 + 18 \\ a_{10} = 23$

Portanto, o décimo termo da Progressão Aritmética é igual a 23.