Question

Temos uma progressão aritmética de 20 termos onde o 1o termo é igual a 5. A soma de todos os termos dessa progressão aritmética é 480. Determine o décimo termo.

Answer 1

Uma PA é uma sequência de números em que todos eles, menos o primeiro, é resultado do anterior mais uma razão.

Temos que:

n = número de termos = 20
a1 = primeiro termos = 5
Sn = Soma de todos os termos = 480 = S20

Primeiro, vamos descobrir o termo a20:

$S_{n} = \frac{( a_{1} + a_{n} ).n}{2} \\ \\ S_{20} = \frac{( a_{1} + a_{20} ).20}{2} \\ \\ 480 = \frac{( 5 + a_{20} ).20}{2} \\ \\ 480 = ( 5 + a_{20} ).10 \\ \\ \frac{480}{10} = ( 5 + a_{20} ) \\ \\ 48 = 5 + a_{20} \\ \\ 48 - 5 = a_{20} \\ \\ 43 = a_{20}$


Tendo o valor de dois termos (a1 e a20), é possível descobrir a razão da PA:

$a_{n} = a_{1} + (n-1).R \\ \\ a_{20} = a_{1} + (20-1).R \\ \\ 43 = 5 + 19.R \\ \\ 43 - 5 = 19.R \\ \\ \frac{38}{19} = R \\ \\ 2 = R$

E enfim, com a razão e o termo a1, vamos ao termo a10:

$a_{n} = a_{1} + (n-1).R \\ \\ a_{10} = a_{1} + (10-1).R \\ \\ a_{10} = 5 + 9.2 \\ \\ a_{10} = 5 + 18 \\ \\ a_{10} = 23$

Answer 2

$\Large\boxed{\boxed{\boxed{{Ola\´\ Smem}}}}}$

A₁ = 5

N = 20

S₂₀ = 480

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Sn = (a₁ + an) . n / 2

480 = (5 + an ) . 20/2

480 = 100 + 20an/2

2(480)  = 100 + 20an

960 = 100+ 20an

960 - 100 = 20an

860 = 20an

860/20 = an

43 = an

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A questão quer saber o 10º termo e para isso temos que encontrar primeiro a razão dessa progressão.

an = a1 + (n-1) .r

43 = 5 + (20-1) .r

43 = 5 + 20r - r

43 = 5 + 19r

43 - 5 = 19r

38 = 19r

38/19 = r

2 = r

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Agora vamos calcular o 10º termo.

a₁₀ = a₁ + 9r

a₁₀ = 5 + 9.2

a₁₀ = 5 + 18

a₁₀ = 23

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Portanto o 10º termo é igual a 23.

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Espero ter ajudado!