Question

Temos uma fila formada por 5 pessoas sabendo que nela existem Daniel e Maria, e que eles sempre estão juntos de quantas maneiras podemos compor essa fila? vamos escolher ao acaso duas pessoas qual a probabilidade se ser Daniel e Maria?

Answer 1

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A princípio, considere "Daniel e Maria" como sendo uma única pessoa. Assim:

•  D:  Daniel;

•  M:  Maria;


[  D    M  ]  __  __  __        (4 elementos na fila)


Então a princípio temos quatro elementos a permutar (P₄). Mas devemos levar em consideração também que o par "Daniel e Maria" pode permutar entre si (P₂).


O total de filas possíveis nas quais Daniel e Maria aparecem juntos é

$\mathsf{P_4\cdot P_2}\\\\ =\mathsf{4!\cdot 2!}\\\\ =\mathsf{24\cdot 2}\\\\ =\mathsf{48~maneiras}\qquad\quad\checkmark$


Pode-se compor esta fila de 48 maneiras, de modo que Daniel e Maria estejam juntos.

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•   Probabilidade condicional.

    Probabilidade de que a 1ª pessoa seja Daniel:  $\mathsf{\dfrac{1}{5}};$

    Probabilidade de que a 2ª pessoa seja Maria, dado que a 1ª é Daniel:

    $\mathsf{\dfrac{1}{5-1}=\dfrac{1}{4}};$

    OU

    Probabilidade de que a 1ª pessoa seja Maria:  $\mathsf{\dfrac{1}{5}};$

    Probabilidade de que a 2ª pessoa seja Daniel, dado que a 1ª é Maria:

    $\mathsf{\dfrac{1}{5-1}=\dfrac{1}{4}}.$


A probabiliidade pedida é a probabilidade da união de dois eventos independentes:

$\mathsf{p=\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{4}}\\\\\\\mathsf{p=2\cdot \dfrac{1}{20}}\\\\\\ \mathsf{p=\dfrac{1}{10}}\\\\\\ \mathsf{p=10~\%}\qquad\quad\checkmark$

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Como alternativa, podemos resolver essa 2ª parte de uma forma mais direta também:

•  O total de formas diferentes de se escolher 2 jogadores entre os 5 disponíveis é dado por

$\mathsf{C_{5,\,2}=\dfrac{5!}{2!\cdot (5-2)!}}\\\\\\ \mathsf{C_{5,\,2}=\dfrac{5\cdot 4\cdot \diagup\!\!\!\!\! 3!}{2!\cdot\diagup\!\!\!\!\! 3!}}\\\\\\\mathsf{C_{5,\,2}=\dfrac{5\cdot 4}{2\cdot 1}}\\\\\\ \mathsf{C_{5,\,2}=\dfrac{20}{2}}\\\\\\ \mathsf{C_{5,\,2}=10~pares}\qquad\quad\checkmark$


E a quantidade de pares que podemos formar apenas com Daniel e o goleiro é

$\mathsf{C_{2,\,2}=1}$


Como esperado, a probabilidade procurada é

$\mathsf{p=\dfrac{C_{2,\,2}}{C_{5,\,2}}}\\\\\\ \mathsf{p=\dfrac{1}{10}}\\\\\\ \mathsf{p=10\%\qquad\quad\checkmark}$


Bons estudos! :-)


Tags:  contagem combinações simples probabilidade análise combinatória