Question

Temos neste problema o estudo de uma cultura de bactérias. A quantidade de bactérias é dada pelo modelo matemático Q(t) = a x 4^bt Nesta função, sabemos que t representa o tempo em horas. Sabemos que depois de quatro horas a quantidade presente de bactérias na cultura foi triplicada. Qual será a quantidade presente depois de oito horas?

9bt

6a

9b + a

9a

9a+b

Answer 1

A quantidade inicial é dada em t = 0 horas:

$Q(0) = a \cdot 4^{0 \cdot b}$

$Q(0) = a \cdot 4^{0}$

$Q(0) = a \cdot 1$

$Q(0) = a$

Quando t = 4 horas, a quantidade inicial é triplicada:

$Q(4) = a \cdot 4^{4 \cdot b}$

$3 \cdot Q(0) = a \cdot (4^4)^b$

$3 \cdot a = a \cdot 256^b$

$3= 256^b$

Aplicando logaritmo na base 256 dos dois lados da equação:

$\log_{256}[3]= \log_{256}[256^b]$

$\log_{256}[3]= b \cdot \log_{256}[256]$

$\log_{256}[3]= b \cdot 1$

$b = \log_{256}[3]$

Agora, a quantidade após 8 horas:

$Q(8) = a \cdot 4^{8 \cdot b}$

$Q(8) = a \cdot 4^{8 \cdot \log_{256}[3]}$

$Q(8) = a \cdot 4^{4 \cdot 2 \cdot \log_{256}[3]}$

$Q(8) = a \cdot (4^{4})^{2 \cdot \log_{256}[3]}}$

$Q(8) = a \cdot 256^{\log_{256}[3]^2}}$

$Q(8) = a \cdot 3^2$

$\boxed{Q(8) = 9 \cdot a}$