Question

Temos 8 crianças e 23 balões idênticos.
(i) De quantas maneiras podemos distribuir esses 23 balões idênticos
entre as 8 crianças? Justifique.
(ii) De quantas maneiras podemos distribuir os mesmos 23 balões respeitando a condição de que cada criança deve receber pelo menos
2 balões? Justifique.

Answer 1

(I) Temos 2.035.800 maneiras diferentes de dividir estes 23 balões entre as 8 crianças. II) 3.432 maneiras diferentes caso cada criança já tenha recebido 2 balões.

Para realizar este exercício vamos permutar separadores e balões.

Estabelecendo divisores

Se considerarmos que o "armário" de cada uma das 8 crianças corresponde à pequenas divisões de madeira (7 ao todo) podemos agora, com 23 balões, encontrar o total de combinações possíveis para este cenário:

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(i) De quantas maneiras podemos distribuir esses 23 balões idênticos entre as 8 crianças? Justifique.

Se considerarmos que não há nenhum pré-requisito de que todas as crianças tenham que receber pelo menos um balão então teremos 30! / (7! * 23!). Mas por que iremos dividir por 7! * 23! ? Pois estas são combinações repetidas resultantes das permutações entre itens de mesma natureza (divisor com divisor e balão com balão). Sendo assim nossa resposta será:

30*29*28*27*26*25*24 / 7*6*5*4*3*2*1

= 10.260.432.000 / 5.040

= 2.035.800

Alguns exemplos

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1. 0 balões
2. 0 balões
3. 0 balões
4. 0 balões
5. 11 balões
6. 0 balões
7. 0 balões
8. 12 balões

▐ ▐ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ▐ ▐ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ▐ ▐  ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ▐

1. 0 balões
2. 0 balões
3. 5 balões
4. 0 balões
5. 7 balões
6. 0 balões
7. 11 balões
8. 0 balões

◯ ▐ ◯ ◯ ▐  ◯ ◯ ◯ ◯▐ ◯▐ ◯ ◯ ◯▐  ◯ ▐ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯▐ ◯ ◯

1. 1 balão
2. 2 balões
3. 4 balões
4. 1 balão
5. 3 balões
6. 1 balão
7. 9 balões
8. 2 balões

ii) De quantas maneiras podemos distribuir os mesmos 23 balões respeitando a condição de que cada criança deve receber pelo menos 2 balões? Justifique.

Se considerarmos que cada criança já recebeu dois balões então teremos agora 7 divisores e 23 - (2*8) = 7 balões, o que nos resulta em:

14! / (7! * 7!)

= 14*13*12*11*10*9*8 / 7*6*5*4*3*2*1

= 17.297.280 / 5.040

= 3.432

Continue estudando sobre combinações aqui: https://brainly.com.br/tarefa/38554590

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