Question

Tema : Relação Trigonométrica.

$\huge \boxed{ \large \boxed{ \begin{array}{lr} \rm \: sen \: o = \frac{a}{b} \\ \\ \rm \: seno = \frac{cateto \: oposto \:ao \: angulo}{hipotenusa} \\ \\ \rm \: cos \: o = \frac{c}{a} \\ \\ \rm \: tangente = \frac{cateto \: adjacente \: ao \: angulo}{cateto \: oposto \: ao \: angulo} \\ \\ \boxed{ \rm \: sen \: b = \frac{c}{a}} \: \: \: \boxed{ \rm los \: b = \frac{b}{a} } \: \: \: \boxed{ \rm tg \:b = \frac{c}{b} } \\ \end{array}}}$
Quando de ângulo e relação :
( Tabela abaixo )
$\huge \boxed{ \large \boxed{ \begin{array}{lr} \\ \: \: \: \: \: \: \: = > \rm {30}^{o} = > {45}^{o} = > {60}^{o} \\ \\ \rm sen \: = > \frac{1}{2} = > \frac{ \sqrt{2} }{2} = > \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ - - - - - - - - - - - - - \\ \rm cos = > \frac{ \sqrt{3} }{2} = > \frac{ \sqrt{2} }{2} = > \frac{1}{2} \\- - - - - - - - - - - - - \\ \rm tag = > \frac{ \sqrt{3} }{3} = > 1 = > \sqrt{3} \end{array}}}$
Exemplo :
$\rm sen \: {30}^{o} = \frac{3}{x} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \rm \frac{1}{2} = \frac{3}{x} \\ \\ \: \rm 1 \: . \: x = 3 \: . \: 2 \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \rm \: x = 6$
==================================
Atividade :

Nos triângulos retângulo seguinte (Anexado na foto) , determine o valor do segmento faltante .

Obs : Coloque os cálculos .​

Answer 1

Utilizando as relações trigonométricas, concluímos que os segmentos faltantes valem:

$\large \text { A)~x = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}h }$

$\large B)~x = 3h^2~~~e~~~y = 2h$

$\large \text { C)~x = \dfrac{2\sqrt{3} }{3}h }$

$\large D)~x = 2~~~e~~~y = 2\sqrt{2}$

$\large E)~h=2\sqrt{3} ~~~e~~~y = 4\sqrt{3}$

Observação ⇒ Alguns triângulos tiveram seus segmentos determinados em função da variável h (altura).

Conforme descrito na questão, estamos tratando de triângulo retângulo e vale as relações trigonométricas:

$\bullet~~ \large \text { Sen~x =\dfrac{Cateto ~oposto ~ \grave{a} ~x }{Hipotenusa} }$

$\bullet~~ \large \text { Cos~x =\dfrac{Cateto ~adjacente ~ \grave{a} ~x }{Hipotenusa} }$

$\bullet~~ \large \text { Tg~x =\dfrac{Cateto ~oposto ~ \grave{a} ~x }{Cateto~adjacente~ \grave{a} ~x} }$

Lembrando que:

→ Cateto Oposto ao ângulo é aquele que está em frente ao ângulo;

→ Cateto Adjacente é aquele que está do lado (grudado) ao ângulo.

→ Cuidado para não confundir com Hipotenusa que é o maior lado do triângulo e oposto ao ângulo de 90°

Importante: Uma fração não deve ter o denominador com uma raiz, portanto para que isso não ocorra, basta multiplicarmos numerador e denominador pela raiz.

Vamos calcular cada um dos triângulos:

A)

Ângulo = 30°

Cateto Oposto à 30° = h

Cateto Adjacente à 30° = 2h

Hipotenusa = x  

$\large \text { Tabela \Rightarrow Cos~30 =\dfrac{\sqrt{3}}{2} }$

Logo:

$\large \text { Cos ~30 = \dfrac{\sqrt{3} }{2} = \dfrac{2h}{x} }$

$\large \sqrt{3}.x= 2~. ~2h$

$\large \sqrt{3}~x= 4h$

$\large \text { x= \dfrac{4h}{\sqrt{3} } }$

$\large \text { x = \dfrac{4h~. ~\sqrt{3} }{\sqrt{3} ~.\sqrt{~3} } \implies x = \dfrac{4\sqrt{3}~ h }{(\sqrt[\backslash\!\!\!2]{3} )^{\backslash\!\!\!2} } \implies \boxed{x = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}h} }$

B)

Ângulo = 60°

Cateto Oposto à 60° = √x

Cateto Adjacente à 60° = h

Hipotenusa = y  

$\large Tabela \Rightarrow Tg~60 =\sqrt{3}$

Logo:

$\large \text { Tg~60 = \sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{x} }{h} }$

$\large \sqrt{x} = \sqrt{3}~ .~ h$

$\large x = ( \sqrt{3}~ .~ h )^2$

$\large x = \sqrt{3}^2~ .~ h^2$

$\large \boxed{x = 3h^2}$

Agora vamos achar y:

$\large Tabela \Rightarrow Cos~60 = \dfrac{1}{2}$

$\large Cos~ 60 = \dfrac{h}{y} = \dfrac{1}{2}$

$\large 1y = 2h\implies \boxed{y = 2h }$

C)

Ângulo = 60°

Cateto Oposto à 60° = h

Cateto Adjacente à 60° = Sem dados

Hipotenusa = x  

$\large \text { Tabela \Rightarrow Sen~60 =\dfrac{\sqrt{3}}{2} }$

Logo:

$\large \text { Sen~60= \dfrac{\sqrt{3} }{2} =\dfrac{h}{x} }$

$\large \sqrt{3}~. ~x = 2.h$

$\large \text { x = \dfrac{2h}{\sqrt{3} } \implies x = \dfrac{2h~. ~\sqrt{3}}{\sqrt{3}~.~ \sqrt{3} } \implies \boxed{x = \dfrac{2\sqrt{3} }{3}h} }$

D)

Ângulo = 45°

Cateto Oposto à 45° = 2

Cateto Adjacente à 45° = x

Hipotenusa = y  

$\large Tabela \Rightarrow Tg~45 =1$

Logo:

$\large Tg~45 = 1 = \dfrac{2}{x}$

$\large \boxed{x = 2}$

Agora vamos achar y (hipotenusa)

$\large \text { Tabela \Rightarrow Sen~45 = \dfrac{\sqrt{2} }{2} }$

Logo:

$\large \text { Sen~45 = \dfrac{\sqrt{2} }{2} = \dfrac{2}{y} }$

$\large \sqrt{2}~. ~y = 2~.~2$

$\large \text { y = \dfrac{4}{\sqrt{2} } \implies y=\dfrac{4~. ~\sqrt{2} }{\sqrt{2}~. ~\sqrt{2}} \implies y=\dfrac{4\sqrt{2} }{2} \implies \boxed{y = 2\sqrt{2}} }$

E)

Ângulo = 30°

Cateto Oposto à 30° = h

Cateto Adjacente à 30° = 6

Hipotenusa = y  

$\large \text { Tabela \Rightarrow Tg~30 = \dfrac{\sqrt{3} }{3} }$

Logo:

$\large \text { Tg~30 = \dfrac{\sqrt{3} }{3} = \dfrac{h}{6} }$

$\large 3h = 6\sqrt{3}$

$\large \text { h = \dfrac{6\sqrt{3} }{3} \implies \boxed {h = 2\sqrt{3} } }$

Agora vamos achar y (hipotenusa)

$\large Tabela \Rightarrow Sen~30 = \dfrac{1}{2}$

Logo:

$\large Sen ~30 = \dfrac{1}{2} = \dfrac{h }{y}$                   como h = 2√3

$\large \text { \dfrac{2\sqrt{3} }{y} = \dfrac{1}{2} }$

$\large y~. ~1 = 2~. ~2\sqrt{3}$

$\large \text { \boxed{y = 4\sqrt{3} } }$

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