Question

Tem-se uma função y=f(x) e outra função g(x) = f(x-p), sendo p > 0. Como mostrar que o gráfico de g(x) é o mesmo de y deslocado p unidades para a direita no eixo x? Muito obrigada a quem ajudar.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Vamos fazer f(x) = x + 1, logo

y = x + 1

Se x = 1 => y = 1 + 1 => y = 2

Se x = 0 => y = 0 + 1 => y = 1

Se x = -1 => y = -1 + 1 => y = 0

Logo seu gráfico está em verde na imagem em anexo (veja!):

Se f(x) = x + 1, então f(x-p) = (x-p) + 1

g(x) = (x-p) + 1

Como p > 0, ou seja, p é positivo, então

Se x = 1 e p = 1 => g(1) = (1-1) + 1 => g(1) = 1

Se x = 0 e p = 1 => g(0) = (0-1) + 1 => g(0) = -1 + 1 => g(0) = 0

Se x = -1 e p = 1 => g(-1) = (-1-1) + 2 => g(-1) = -2 + 1 => g(-1) = -1

Logo, o gráfico de g(x) está em vermelho na imagem em anexo (veja!)

Se mantermos os mesmos valores de x e variarmos os valores de p para 2, 3, 4 etc unidades, o gráfico de g(x) será deslocado 2, 3, 4, etc unidades para a direita no eixo dos x.

Os gráficos em azul e laranja, respéctivamente, são das funções h(x) = f(x-2p) e i(x) = f(x-3p). Veja que o gráfico em azul está deslocado 2 unidades para a esquerda do gráfico de f(x) e o gráfico de i(x) está deslocado 3 unidades para a esquerda do gráfico de f(x)

Answer 2

Explicação:

Considere $f:A\longrightarrow B$ uma função real de variável real, cujo domínio é $D(f)=A\subseteq\mathbb{R}$ e contradomínio $CD(f)=B\subseteq\mathbb{R}$, dada por $y=f(x)$. Como vimos anteriormente, a função $f$ associa cada número real $x$ de seu domínio $A$ ao valor $y=f(x)$ do respectivo contradomínio $B$ $(x\longmapsto f(x))$. Agora, considere $g:C\longrightarrow D$ uma outra função também real de variável real com domínio $D(g)=C\subseteq\mathbb{R}$ e contradomínio $CD(g)=D\subseteq\mathbb{R}$, dada por $g(x)=f(x-p)$, sendo $p$ um número real positivo $(p\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}})$. Da maneira como está definida acima, a função $g$ associa cada valor real $x$ de seu domínio $C$ ao valor $f(x-p)$ do respectivo contradomínio $D$ $(x\longmapsto f(x-p))$, onde $f(x-p)$ é a imagem correspondente à aplicação do argumento $(x-p)$ na função $f$. Existe uma particularidade interessante nas respectivas curvas representativas (gráficos) de $y=f(x)$ e $g(x)=f(x-p)$, que é o gráfico de $g(x)$ ser o de $f(x)$ transladado de $p$ unidades na direção e sentido positivo do eixo das abscissas $\overleftrightarrow{Ox}$ (eixo $x$). Suponha que $x_{1}$ seja um número pertencente ao domínio $D(f)=A$,  então a curva representativa de $f$ contém o par ordenado $(x_{1},f(x_{1}))$. Perceba também que, para um determinado número $k_{1}$ do domínio $D(g)=C$ $(k_{1}\ \in\ C)$, sendo $k_{1}=x_{1}+p$, temos que o par ordenado $(k_{1},f(k_{1}-p))=(x_{1}+p,f(x_{1}+p-p))=(x_{1}+p,f(x_{1}))$ pertence ao gráfico de $g$. Tal fato estende-se para quaisquer valores $x_{i}$ do domínio $A$ de $y=f(x)$, e consequentemente para qualquer $k_{i}$ do domínio de $g(x)=f(x-p)$, desde que $k_{i}=x_{i}+p$ $(k_{i}=x_{i}+p,\ \forall\ i\ \in\ \{1,2,3,4,\ \cdots\})$. É notório que, levando em consideração todas as condições impostas acima, quaisquer que sejam os pares ordenados que pertencem aos respectivos gráficos de $f$ e $g$ terão sempre a mesma ordenada (coordenada $y$), e como consequência, as imagens $Im(f)\subseteq B$ e $Im(g)\subseteq D$ das funções $y=f(x)$ e $g(x)=f(x-p)$ serão iguais $(Im(f)=Im(g))$. Por fim, pode-se perceber facilmente que ao adicionarmos o número positivo $p$ a cada valor $x_{i}$ do domínio da $f$ e aplicarmos estes valores em $g$, obtém-se para $g(x)=f(x-p)$ um gráfico igual ao de $y=f(x)$, porém transladado de $p$ unidades $(p>0)$ na direção e sentido positivo do eixo $\overleftrightarrow{Ox}$ (devido ao acréscimo de $p$ unidades na variável).

Obs.: O raciocínio foi inteiramente construído a partir da informação de que o gráfico de $y=f(x)$ já é conhecido, sendo este o ponto de partida para a obtenção da curva representativa de $g(x)=f(x-p)$.

Um grande abraço!