Question

Têm-se duas cordas sonoras de mesmo material uma delas tem 0,60cm de comprimento, 1,00mm de diâmetro, é tensa por um peso de 4,00kgf e vibra com frequência fundamental de 400cps; a outra tem 40,0cm de comprimento, 2,00mm de diâmetro e é tensa por peso de 9,00kgf. A frequência fundamental desta corda vale:
a) 450cps
b) 800cps
c) 660cps
d) 60cps
e) 150cps


Obs: Por favor, eu preciso dos cálculos!!

Answer 1

Olá! Bom vamos lá! 

Teremos uma resolução um pouco grande , então nao se assuste, mas podemos fazer da seguinte forma :

 Vamos pensar que a relação entre a força com que uma corda é esticada, F, e a velocidade, v, de propagação de um pulso nessa corda vai ser dada pela fórmula de Taylor. Nessa fórmula, μ vai representar a densidade linear da corda: 

v² = F/μ (I) 

Se f for a frequência de propagação do pulso na corda e λ for o comprimento de onda desse pulso, teremos: 

v = λ.f (II) 

Substituindo-se (II) em (I), temos: 

(λ.f)² = F/μ (III) 

Assim, sabemos que, quando uma corda oscila na frequência fundamental, a metade do comprimento de onda do pulso, λ/2, fica igual ao tamanho da corda, L: 

λ/2 = L 

λ = 2.L (IV) 

Substituindo (IV) em (III), temos: 

(2.L.f)² = F/μ (V) 

A fórmula (V) será usada para a solução do problema. Vamos ter duas situações. Vamos começar estabelecendo uma relação entre as densidades lineares das duas cordas. Chamemos de μ a densidade linear da primeira e de μ' a da segunda. Vamos deduzir μ' em função de μ: 

μ = m/L = d.v/L = d.S.L /L = d.S = d.π.r² (VI) 

Como o material da cordas é o mesmo, a densidade da segunda corda vai ser igual à densidade da primeira: 

μ' = d.π.r'² (VII) 
Dividindo (VI) por (VII), temos: 

μ/μ' = r²/r'² 

μ/μ' = (5,0.10^-4)²/(1,0.10^-3)² 

μ/μ' = (25,0.10^-8)/(1,0.10^-6) 

μ/μ' = 0,25 

μ' = 4μ (VIII) 

Vamos Voltar à fórmula (V). Para a primeira corda, temos: 

(2.L.f)² = F/μ 

[2.(0,60).(400)]² = (40,0)/μ 

480² = (40,0)/μ 

(480)² = (40,0)/μ 

μ = 1/5760 kg/m (IX) 

De (IX) e (VIII), temos: 

μ' = 1/1440 kg/m (X) 

Para a segunda corda vamos ter: 

(2.L'.f')² = F'/μ' 

[2.(0,40).f']² = (90)/(1/1440) 

[(0,80).f']² = (90).(1440) 

(0,80).f' = 360 

f' = 450 cps.

Ou seja resposta letra A

Espero ter ajudado!