Question

Tem como fazer por Pitágoras e, considerar a constante como perímetro (24)?

(X+1)^2=(x^2-5)^2+(2x)^2

-x^4+7x^2-24=0 (-1)

Answer 1

Pitágoras não, pois não se sabe se o triângulo é retângulo.
Os lados do triângulo estão em PA, o que significa que o primeiro acrescido de uma razão $q$ resulta no segundo, e o primeiro acrescido de $2q$ resulta no terceiro. Em linguagem matemática:
$x + 1 + q = 2x\\q = 2x - x - 1\\\\\boxed{q = x - 1}\\\\x + 1 + 2q = x^2 - 5\\x + 1 + 2(x-1) = x^2 - 5\\2x + x - 2 + 1 - x^2 + 5=0\\-x^2 + 3x + 4 = 0\\\\\cfrac{-3 \pm \sqrt{3^3 - 4 \cdot (-1) \cdot 4} }{2 \cdot (-1)} \\\\= \cfrac{-3 \pm \sqrt{9 + 16} }{-2} \\\\= \cfrac{-3 \pm \sqrt{25} }{-2} \\\\= \cfrac{-3 \pm 5 }{-2} \\\\x_1 = \cfrac{-3 + 5 }{-2} = \cfrac{2 }{-2} = -1\\\\x_2 = \cfrac{-3 - 5 }{-2} = \cfrac{-8 }{-2} = 4$

Usar o valor $x_1$ no lado de comprimento $x^2 - 5$ resultaria em um comprimento negativo, o que é impossível, por isso descartamos esta raiz. Ou seja, $x =4$. Os lados se obtém simplesmente substituindo o valor de x:
$x + 1 = 4 + 1 = 5\\2x = 2 \cdot 4 = 8\\x^2 - 5 = 4^2 - 5 = 16 - 5 = 11$

E a soma dos lados (perímetro) é $5 + 8 + 11 = 24$

e) 24cm