Question

Taxas Relacionadas: A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 cm/min, enquanto a área do triângulo cresce a uma taxa de 2 cm²/min. A que taxa varia a base do triângulo quando a altura é 10 cm e a área, 100 cm²?

Answer 1

h = 10 cm
A = 100 cm
b.h/2 = 100
10b/2 = 100
5b = 100
b = 100/5
b = 20
A = 100 --> b = 20

b = 20% de A

Answer 2

Dados:

$\mathsf{\dfrac{dH}{dt}=1cm/min}$

$\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=2{cm}^{2}/min}$

$\mathsf{\dfrac{dB}{dt}=? }$

$\mathsf{H=10cm}$

$\mathsf{A=100{cm}^{2}}$

Solução:

Primeiro vamos descobrir o valor de B:

$100=\dfrac{1}{2}.B.10\\10B=200\\B=\dfrac{200}{10}=20cm$

$\mathsf{A=\dfrac{1}{2}.B.H}$

$\textsf{Derivando~em~t}$ :

$\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{1}{2}.[\dfrac{dB}{dt}.H+B.\dfrac{dH}{dt}]}$

$\large\textsf{substituindo~os~dados~temos}.$

$\mathsf{2=\dfrac{1}{2}.[\dfrac{dB}{dt}.10+20.1]}$

$\mathsf{10\dfrac{dB}{dt}+20=4}\\\mathsf{10\dfrac{dB}{dt}=4-20}\\\mathsf{10\dfrac{dB}{dt}=-16}\\\mathsf{\dfrac{dB}{dt} =-\dfrac{16\div2}{10\div2}}$

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dB}{dt}=-\dfrac{8}{5}~cm/min}}}$