Question

Tarefa com 2 questões. A primeira vale 5 pontos, a segunda, 45 :-)

1) O gráfico da função y = ax2 + bx + c tem uma só intersecção com o eixo Ox e corta o eixo Oy em (0, 1). Então, os valores de a e b obedecem à relação:

a) b2 = 4a
b) -b2 = 4a
c) b = 2a
d) a2 = -4a
e) a2 = 4b


2) Justifique o cálculo feito acima ( o famoso "mas como é que você fez isso???)

Answer 1

 Olá Aline!

 A parábola de uma função de grau dois (ou função do 2º grau, ou função quadrática), que possui DUAS raízes reais e distintas toca o eixo $Ox$ em DOIS pontos; ou seja, nos pontos $(x', 0)$ e $(x'', 0)$; onde $x'$ e $x''$ são as raízes da função, também denominados zeros da função.

 Agora, se a função quadrática tem duas raízes reais e iguais, então a parábola toca o eixo $Ox$ em apenas UM ponto, isto é, $(x', 0)$, onde $x'$ é a raiz.

 De acordo com o enunciado, a parábola intersecta o eixo $Ox$ em UM ponto; então podemos tirar que a função quadrática possui apenas UMA raiz.

 Até aqui Aline, podemos concluir que $\Delta = 0$ pois a função possui raiz única (intersecção em um ponto)!!

 Com efeito,

$\\ \Delta = 0 \\ b^2 - 4ac = 0 \\ \boxed{b^2 = 4ac}$ 

 Guarde isso em destaque acima!!

 O enunciado nos passa uma segunda condição: "corta o eixo Oy em (0, 1)".

 Comparando os pontos $(x, y)$ e $(0, 1)$, chegamos a: x=0 e y = 1.

 Substituindo na função,

$\\ y = ax^2 + bx + c \\ 1 = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \\ c = 1$

 Por fim, consideramos aquela fórmula obtida com o fato de "c'' ser igual a 1.

 Logo, concluímos que:

$\\ b^2 = 4ac \\ b^2 = 4a \cdot 1 \\ \boxed{\boxed{b^2 = 4a}}$