Question

Tarefa 1: Encontrando o volume de sólidos de Revolução Um dos objetivos do projeto é analisar o volume de sólidos de rotação, por meio do cálculo de integrais. Para isso, primeiro determine os sólidos formados pela rotação das funções dadas e depois calcule o volume utilizando as informações dadas. E O primeiro sólido é formado rotacionando a função que interpola os pontos (-1,3) e (1,5) em torno do eixo y definida no intervalo 0 <=y<=4. O segundo sólido é formado ao rotacionar a função X = 6 em torno do eixo y definida no intervalo 0<=y<=6. Não se esqueça de especificar quais são os sólidos formados ao rotacionar as funções dadas, Após determinar o volume, utilizando integrais, de cada um dos sólidos formados pela rotação das funções em torno do eixo y.
​

Answer 1

Resposta:

O primeiro sólido é um cone e o volume dele é  $\frac{64}{3} \pi$

O segundo sólido é um cilindro e o volume dele é $216\pi$

Explicação passo a passo:

Para calcular o primeiro sólido você deve achar a função do gráfico com as coordenadas apresentadas:

x y

-1 3

1 5

Primeiro ache o valor da abscissa:

$a=\frac{y2-y1}{x2-x1}$

$a = \frac{5-3}{1-(-1)}$

$a = \frac{2}{2}$

$a = 1$

O valor da abscissa é 1.

Agora vamos usar a formula da equação de primeiro grau para achar a função:

$y = ax + b$

Já temos o valor de a = 1, agora precisamos achar o valor de b, escolha uma das duas coordenadas de x e y (-1 e 3) ou (1 e 5) e substitua na formula:

$3 = 1.(-1) + b\\3 = -1 + b\\3 + 1 = b\\b = 4$

Agora sabemos que a função é y = x + 4.

Ao rotacionar a função x+4 em torno de y no intervalo 0 ≤ y ≤ 4  obtemos um sólido do tipo cone.

Para calcular o volume do cone primeiro precisamos transformar a função f(x) em f(y):

$y = x + 4\\x = y -4$

Agora aplicamos na integral de calculo de volume em função de y:$v = \pi \int\limits^a_b f({y})^{2} \, dy\\\\v = \pi \int\limits^0_4 ({y-4})^{2} \, dy\\\\v = \pi \int\limits^0_4 ({y^{2} - 8y + 16 }) \, dy$

Derivada:

$v = \pi [\frac{y^{3} }{3} - \frac{8y^{2}}{2} + 16y]\int\limits^0_4$

A substituição por 0 vai dar 0

então basta substituir por 4

$v = \pi [\frac{4^{3} }{3} - \frac{8.4^{2}}{2} + 16.4]\\\\v = \pi [\frac{64 }{3} - \frac{128}{2} + 64]\\\\v = \pi [\frac{64 }{3} - 64 + 64]\\\\v = \frac{64 }{3}\pi$

Portanto o volume do primeiro sólido (cone) é $\frac{64 }{3}\pi$ de u.v (unidades de volume)

Para calcular o segundo sólido basta usar a função apresentada x = 6 na integral.

$v = \pi \int\limits^a_b f({y})^{2} \, dy\\\\v = \pi \int\limits^0_6 ({6})^{2} \, dy\\\\v = \pi \int\limits^0_6 ({36 }) \, dy$

Derivada

$v = \pi [36y]\int\limits^0_6$

A substituição por 0 vai dar 0

então basta substituir por 6

$v = \pi [36.6]\\v = 216\pi$

Portanto o volume do segundo sólido (cilindro) é $216\pi$ de u.v (unidades de volume)

Obs.: use o site geogebra para gerar os gráficos

Answer 2

O primeiro sólido é um cone de revolução com volume igual a 67,0206 e o segundo é um cilindro de revolução cujo volume é 678,584.

Primeiro sólido

A função que interpola os pontos (-1, 3) e (1, 5) é a reta dada pela igualdade:

$y - 3 = (\dfrac{5-3}{1-(-1)})(x - (-1) )$

$y = x + 4$

A reta intersecta o eixo y no ponto (0, 4), logo quando rotacionamos ela em torno do eixo y obtemos um tronco de cone. Para calcular o volume desse tronco de cone, devemos integrar a função $\pi (x + 4)^2$ no intervalo $-4 \leq x \leq 0$ :

$V_1 = \int_{-4}^0 \pi (x + 4)^2 \; dx = \int_{-4}^0 \pi (x^2 + 8x + 16) \; dx$

$V_1 = \pi (\dfrac{x^3}{3} + 4x^2 + 16x)_{-4}^0 = \dfrac{64 \pi}{3} = 67,0206$

Segundo sólido

A reta x = 6 é paralela ao eixo y, logo, quando rotacionamos um seguimento dessa reta em torno do eixo y, temos um cilindro de revolução. Para calcular o volume, devemos integrar $2 * 6 * \pi * y$ no intervalo $0 \leq y \leq 6$ :

$\int_0^6 12 \pi y \; dy = (6 \pi y^2)_0^6 = 216 \pi = 678,584$

Para mais informações sobre cálculo de volumes por integrais, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/6995481

#SPJ2