Question

T (x,y,z) = (x+y+z, y+z, z) R3 para R3 verificar se essa transformação é linear.

Answer 1

$T(x,y,z)= \left[\begin{array}{ccc}x+y+z\\y+z\\z\end{array}\right]$
tal que para que T seja uma transformação linear, deve obedecer a um conjunto de regras, que verificaremos abaixo:

Def. $T:\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R}^m$ é uma aplicação do espaço vetorial $\mathbb{R}^n$ em $\mathbb{R}^m$ se para dois vetores u, v e um escalar a pertencentes ao $\mathbb{R}^n$ se e somente se as afirmações abaixo são verdadeiras:

$\bullet~T\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=T\vec{u}+T\vec{v}\\\\\bullet T(a\vec{u})=aT\vec{u}$

ou seja, se T conserva a linearidade é uma transformação linear

Para provar se T é ou não um operador linear faremos o seguinte:
1) Definiremos dois vetores u e v:
$\vec{u}=u_x\hat{i}+u_y\hat{j}+u_z\hat{k}\\\\\vec{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}+v_z\hat{k}\\\\\text{ou seja:}\\\\\vec{u}+\vec{v}=(u_x+v_x)\hat{i}+(u_y+v_y)\hat{j}+(u_z+v_z)\hat{k}$

2) Utilizando esses vetores amostrais "imaginários" tentaremos comprovar as condições impostas para T ser transformação linear:


calcular $T(\vec{u})$

$\displaystyle~~~T\vec{u}= \left[\begin{array}{ccc}u_x+u_y+u_z\\u_y+u_z\\u_z\end{array}\right]$

calcular $T(\vec{v})$
$\displaystyle ~~~T\vec{v}= \left[\begin{array}{ccc}v_x+v_y+v_z\\v_y+v_z\\v_z\end{array}\right]$

calcular $T(\vec{v}+\vec{u})$

$\displaystyle T(\vec{v}+\vec{u})= \left[\begin{array}{ccc}(u_x+v_x)+(u_y+v_y)+(u_z+v_z)\\(u_y+v_y)+(u_z+v_z)\\u_z+v_z\end{array}\right]$

epa aqui já podemos verificar uma das condições estabelecidas lá na definição.

$\displaystyle T\vec{u}+T\vec{v}=\left[\begin{array}{ccc}u_x+u_y+u_z\\u_y+u_z\\u_z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}v_x+v_y+v_z\\v_y+v_z\\v_z\end{array}\right]\\\\~~~~~~~~~~~~=\left[\begin{array}{ccc}(u_x+u_y+u_z)+(v_x+v_y+v_z)\\(u_y+u_z)+(v_x+v_y)\\u_z+v_z\end{array}\right]\\\\~~~~~~~~~~~~=\left[\begin{array}{ccc}(u_x+v_x)+(u_y+v_y)+(u_z+v_z)\\(u_y+v_y)+(u_z+v_z)\\u_z+v_z\end{array}\right] =T(\vec{u}+\vec{v})$

T satisfaz a primeira condição imposta!!!
portanto verificaremos a segunda:

calcular $T(a\vec{u})$
$\displaystyle T(a\vec{u})=\left[\begin{array}{ccc}au_x+au_y+au_z\\au_y+au_z\\au_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a(u_x+u_y+u_z)\\a(u_y+u_z)\\a(u_z)\end{array}\right]\\\\~~~~~~~~~=a\left[\begin{array}{ccc}u_x+u_y+u_z\\u_y+u_z\\u_z\end{array}\right]=aT(\vec{u})$

Verificamos anteriormente que a matriz da segunda linha é a transformação de u, portanto concluímos que T é de fato uma transformação linear:
$T:\mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}^3$

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