Question

T(x,y)=(x+3y,4x+2y)

Quais os autovalores e autovetores relacionados a essa transformação?

Answer 1

Analisando a transformação linear calculamos que, os autovetores são 5 e -2 e os autovetores são (3/4, 1) e (-1, 1).

Transformação linear

Os autovalores da transformação linear T são as raízes da equação quadrática encontrada quando calculamos o determinante da matriz det([T] - c*[I]). Portanto, podemos escrever:

$(1-c)*(2-c) -12 = 0 \Rightarrow c^2 -3c -10 = 0 \Rightarrow c_1 = 5 \quad c_2 = -2$

Pela definição, temos que, para encontrar os autovetores associados ao autovalor 5, basta calcular os vetores v cuja transformação linear é 5*v. Ou seja, substituindo a lei de formação da transformação linear T:

x + 3y = 5x

4x + 2y = 5y

x = (3/4)y

Logo, esses vetores podem ser escritos na forma y*(3/4, 1).

Analogamente, calculamos que os autovetores associados ao autovalor -2 são dados por:

x + 3y = -2x

4x + 2y = -2y

x = -y

Portanto, esses vetores são escritos na forma y*(-1, 1).

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