Question

Suponhamos que você seja o analista financeiro da empresa Matemáticos S.A. e que o lucro líquido (receita - despesas) dessa empresa, durante um ano, seja apresentado trimestralmente e que após o levantamento dos dados, foi construído um modelo matemático que representa o lucro líquido da empresa, representado pela função:

(IMAGEM EM ANEXO)...

em que x corresponde ao período dado em trimestres.

Instruções para adequações que devem ser realizadas no modelo acima, para que a função l(x) esteja bem definida:
- As letras A, B e C devem corresponder ao quinto, sexto e sétimo algarismos de seu RA (registro acadêmico), ou seja, sendo seu RA de número 1531298-5, temos que A=2, B=9 e C=8.
- Após definir a função l(x) de acordo com os valores atribuídos às constantes A, B e C, utilize o GeoGebra para plotar o gráfico e se familiarizar com a função.
- O domínio para essa função será o intervalo [0; 4] (zero a quatro).

Agora, o sócio majoritário da empresa solicitou uma análise do lucro liquido da empresa nesse intervalo. Assim, munido dessas informações, utilize o conceito de derivadas para expressar os pontos de máximo e de mínimo do lucro líquido da empresa no intervalo solicitado, ou seja, em qual período o lucro foi máximo e em qual período o lucro foi mínimo, apresentando, também, o valor do lucro nos referidos períodos (Tome π = 3,14).

DICA: Trabalhe com a calculadora em radianos!

Answer 1

Aplicando as primeira e segunda derivadas na função trigonométrica obtemos o lucro mínimo de - 2 unidades monetárias que ocorre inicialmente no 15º dia, e o lucro máximo de  2 unidades monetárias ocorrendo incialmente no 45º dia.

Função Trigonométrica

A função trigonométrica apresentada que relaciona o período (x em trimestres) com o lucro líquido (l(x)) tem o seguinte formato:

$l(x)=A\cdot \cos (Bx+C)$

Substituindo os valores A = 2, B = 9 e C = 8 do modelo de RA dado teremos a seguinte função:

$l(x)=2\cdot \cos (9x+8)$

Cujo gráfico no intervalo de domínio de [0,4] encontra-se na figura abaixo.

Para obtermos os lucros máximos e mínimos basta igualarmos a derivada primeira de l(x) a zero e em seguida realizar o teste da segunda derivada para identificar se os pontos críticos serão de máximo ou mínimo.

$l(x)=2\cdot \cos (9x+8)\\\\l'(x)=-2\cdot sen(9x+8) \cdot 9\\\\l'(x)=-18\cdot sen(9x+8)\\ \\l''(x)=-18\cdot \cos (9x+8)\cdot 9\\\\l''(x)=-162\cdot \cos (9x+8)$

Igualando a derivada primeira a zero obtemos:

$l'(x)=-18\cdot sen(9x+8)=0\\\\sen(9x+8)=0\\\\9x+8=k\pi\\\\x=\dfrac{k\pi-8}{9}, \ k\in\mathbb{Z}$

Como $x\in[0,4]$ teremos:

$0\leq x\leq 4\\\\0\leq \dfrac{k\pi-8}{9}\leq 4\\\\0\leq k\pi-8\leq 36\\\\8\leq k\pi \leq 44\\\\\dfrac{8}{\pi}\leq k \leq \dfrac{44}{\pi}\\\\2,548\leq k \leq 14,013\\\\k\in \{3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14\}$

Para cada um dos valores de k teremos um ponto de máximo ou de mínimo.

• Para k = 3 teremos x = 0,157 e substituindo na derivada segunda:

$l''(0,157)=-162\cdot \cos(9\cdot 0,157+8)\\\\l''(0,157)=161,98 > 0 \therefore minimo$

• Para k = 4 teremos x = 0,507 e substituindo na derivada segunda:

$l''(0,506)=-162\cdot \cos (9\cdot 0,506+8)\\\\l''(0,506)=-161,98 < 0 \therefore maximo$

Como a função é periódica e temos 12 valores de k, 6 serão pontos de máximo e 6 serão pontos de mínimo, alternadamente.

Para saber qual o lucro mínimo e o lucro máximo basta substituirmos x = 0,157 e x = 0,506 na função.

• Mínimo ⇒ $l(0,157)=2\cdot \cos (9\cdot 0,157+8)=-2 \ u.m.$
• Máximo ⇒ $l(0,157)=2\cdot \cos (9\cdot 0,506+8)\approx 2 \ u.m.$

Para saber mais sobre Funções Trigonométrica acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/20558058

https://brainly.com.br/tarefa/15318794

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