Question

Suponhamos que o processo de esterilização para um experimento biológico compreenda n estágios independentes,
cada um com probabilidade p de sucesso. Se uma falha em qualquer dos estágios ocasiona contaminação, qual a
probabilidade de contaminação se n=10 e p=0,99?

Answer 1

Variável aleatória:  x = quantidade de sucessos contados nos  n  estágios.

     x  apresenta distribuição binomial  com parâmetros

     •   n = 10     (repetições)

     •   p = 0,99     (probabilidade de sucesso = estágio não contaminado)


A probabilidade de ocorrerem  k  sucessos é dada por

     $P(x=k)=\dbinom{n}{k}(p)^k(1-p)^{n-k}\\\\\\ P(x=k)=\dbinom{10}{k}\cdot (0,\!99)^k\cdot (1-0,\!99)^{10-k}\\\\\\ P(x=k)=\dbinom{10}{k}\cdot (0,\!99)^k\cdot (0,\!01)^{10-k}$

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A probabilidade de não haver contaminação em todos os estágios é

     $P(x=10)=\dbinom{10}{10}\cdot (0,\!99)^{10}\cdot (0,\!01)^{10-10}\\\\\\ P(x=10)=1\cdot (0,\!99)^{10}\cdot (0,\!01)^0\\\\ P(x=10)=(0,\!99)^{10}\\\\ P(x=10)\approx 0,\!904\\\\ P(x=10)\approx 90,\!4\%$


A probabilidade pedida é o evento complementar, ou seja, houve contaminação em algum dos estágios:

     $P(x<10)=1-P(x=10)$

     $P(x<10)=1-(0,\!99)^{10}\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta exata.}$

     $P(x<10)\approx 1-0,\!904\\\\ P(x<10)\approx 0,\!096$

     $P(x<10)\approx 9,\!6\%\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta aproximada.}$


A probabilidade de contaminação é de aproximadamente  9,6 %.


Bons estudos! :-)