Question

Suponha que X represente a duração da vida de uma peça de equipamento. Admita-se que 256 peças sejam ensaiadas, fornecendo uma duração de vida média de 100 horas. Suponha-se que seja conhecido o desvio padrão igual a 8 horas, e que se deseje obter um intervalo de confiança de 95 % para a média (usar 1,96). Qual o intervalo de confiança?
[Limite Inferior do IC = Média - 1,96 . (desvio padrão dividido pela raiz quadrada da amostra)]
[Limite Superior do IC = Média + 1,96 . (desvio padrão dividido pela raiz quadrada da amostra)]

Answer 1

Suponha que X represente a duração da vida de uma peça de equipamento. Admita-se que 256 peças sejam ensaiadas, fornecendo uma duração de vida média de 100 horas. Suponha-se que seja conhecido o desvio padrão igual a 8 horas, e que se deseje obter um intervalo de confiança de 95 % para a média (usar 1,96). Qual o intervalo de confiança?

[Limite Inferior do IC = Média - 1,96 . (desvio padrão dividido pela raiz quadrada da amostra)]

[Limite Superior do IC = Média + 1,96 . (desvio padrão dividido pela raiz quadrada da amostra)]

Solução

Temos os seguintes dados:

n (número de elementos da amostra) = 256

μ (média) = 100

σ (desvio padrão) = 8

*** Para identificar o valor Z, farei de duas formas ***

• [1ª forma] Inicialmente vamos determinar o valor de Z, aplicando em área de uma distribuição normal padrão, vejamos:

$\dfrac{95}{2} = 47,5\:\:ou\:\:0,475$

Ao observarmos a tabela normal padrão de 0 a z (em anexo 1), temos o valor da abscissa z = 1,96.

• [2ª forma] Vamos determinar o valor de Z, sabendo que, na tabela de distribuição normal padrão acumulada, temos:

$95 + 2,5 = 97,5 = 0,975$

Ao observarmos a tabela de distribuição normal padrão acumulada (em anexo 2), temos o valor da abscissa z = 1,96.

*** Para encontrar o IC (intervalo de confiança) farei de três formas ***

• [1ª forma] Vamos substituir os dados encontrados à seguinte fórmula, temos:

[Limite Inferior do IC = Média - 1,96 . (desvio padrão dividido pela raiz quadrada da amostra)]

$Li_{IC} = \mu - z*\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

$Li_{IC} = 100 - 1,96*\dfrac{8}{\sqrt{256}}$

$Li_{IC} = 100 - 1,96*\dfrac{8}{16}$

$Li_{IC} = 100 - 1,96*0,5$

$Li_{IC} = 100 - 0,98$

$Li_{IC} = 99,02$

[Limite Superior do IC = Média + 1,96 . (desvio padrão dividido pela raiz quadrada da amostra)]

$Ls_{IC} = \mu + z*\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

$Ls_{IC} = 100 + 1,96*\dfrac{8}{\sqrt{256}}$

$Ls_{IC} = 100 + 1,96*\dfrac{8}{16}$

$Ls_{IC} = 100 + 1,96*0,5$

$Ls_{IC} = 100 + 0,98$

$Ls_{IC} = 100,98$

Logo:

$P\:\left(100 - 0,98 \leq \mu \leq 100 + 0,98)\right = 0,95$

O intervalo de confiança é:

$P\:\left(99,02 \leq \mu \leq 100,98)\right = 95\%$

• [2ª forma] Vamos substituir os dados encontrados à seguinte fórmula, temos:

$c = z*\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

$c = 1,96*\dfrac{8}{\sqrt{256}}$

$c = 1,96*\dfrac{8}{16}$

$c = 1,96*0,5$

$c = 0,98$

Logo:

$P\:\left(100 - 0,98 \leq \mu \leq 100 + 0,98)\right = 0,95$

O intervalo de confiança é:

$P\:\left(99,02 \leq \mu \leq 100,98)\right = 95\%$

• [3ª forma] Vamos substituir os dados encontrados à seguinte fórmula, temos:

$P\:\left(\mu - \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} * Z_{\frac{\alpha}{2}} \leq \mu + \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} * Z_{\frac{\alpha}{2}} \right) = 1 - \alpha$

$P\:\left(100 - \dfrac{8}{\sqrt{256}} * 1,96 \leq 100 + \dfrac{8}{\sqrt{256}} * 1,96 \right) = 95\%$

$P\:\left(100 - \dfrac{8}{16} * 1,96 \leq 100 + \dfrac{8}{16} * 1,96 \right) = 95\%$

$P\:\left(100 - 0,5 * 1,96 \leq 100 + 0,5 * 1,96 \right) = 95\%$

$P\:\left(100 - 0,98 \leq 100 + 0,98 \right) = 95\%$

O intervalo de confiança é:

$P\:\left(99,02 \leq \mu \leq 100,98)\right = 95\%$

• Resposta:

Existe 95% de chance da peça durar entre 99,02 e 100,98

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$\bf\green{Espero\:ter\:ajudado, sauda\c{c}\~oes ...\:Dexteright02!}\:\:\ddot{\smile}$