Question

Suponha que você começou a estagiar na empresa X, uma empresa produtora de vários componentes elétricos e mecânicos, sendo uma importante fornecedora para outras empresas brasileiras. Suas primeiras atividades como estagiária(o) foram relacionadas às análises de demandas e de produção da empresa, juntamente com a Assessoria Industrial.
Determinado dia, trabalhando com dados em planilhas, você computou os rendimentos de três grandes vendas: a primeira de R$ 1.970.000,00, a segunda de R$ 1.930.000,00 e a terceira de R$ 1.550.000,00, sendo que em cada venda, apenas os produtos A, B e C estariam presentes. As quantidades de cada produto em cada venda foi:

- Produto A = 10.000, Produto B = 12.000 e Produto C = 16.000;
​- Produto A = 12.000, Produto B = 13.000 e Produto C = 14.000;
​- Produto A = 10.000, Produto B = 5.000 e Produto C = 15.000.

Infelizmente, você não conseguiu encontrar os preços unitários de cada produto e, estando sozinho e no final do seu expediente, precisava terminar os preenchimentos de outras planilhas que precisavam dessas quantidades. Como você pode perceber, esse problema pode ser solucionado por meio do uso dos conceitos de Sistemas de Equações Lineares. Dessa forma, responda:

a) Qual o conjunto de equações lineares formado?
b) Qual a matriz dos coeficientes?
c) Calcule e apresente os cálculos do determinante da matriz dos coeficientes.
d) Resolva o sistemas de equações lineares utilizando o Método de Cramer e calculando os determinantes das matrizes pelo Método de Sarrus, indicando os preços unitários.
e) Se a quantidade vendida em determinado pedido fosse 8.000 produtos de cada tipo (A, B e C), qual seria o valor da venda?

Answer 1

Essa questão se trata de sistemas lineares e da regra de Cramer.

a) Sejam A, B e C as incógnitas, as equações do sistema linear serão:

10.000·A + 12.000·B + 16.000·C = 1.970.000

12.000·A + 13.000·B + 14.000·C = 1.930.000

10.000·A + 5.000·B + 15.000·C = 1.550.000

b) A matriz dos coeficientes será dada por:

$D=\left[\begin{array}{ccc}10.000&12.000&16.000\\12.000&13.000&14.000\\10.000&5.000&15.000\end{array}\right]$

Para simplificar os cálculos, podemos escrever:

$D=1000\cdot\left[\begin{array}{ccc}10&12&16\\12&13&14\\10&5&15\end{array}\right]$

c) O determinante da matriz dos coeficientes é:

$det(D) = 10 \cdot 13 \cdot 15 + 12 \cdot 14 \cdot 10 + 16 \cdot 12 \cdot 5 - 10 \cdot 13 \cdot 16 - \cdot 5 \cdot 14 \cdot 10 - 15 \cdot 12 \cdot 12\\det(D) = 1950 + 1680 + 960 - 2080 - 700 - 2160\\det(D) = -350$

d) A solução do sistema pela regra de Cramer segue abaixo (lembre-se que todos os valores estão multiplicados por 1000 para simplificar).

A matriz de A será:

$DA=1000\cdot\left[\begin{array}{ccc}1970&12&16\\1930&13&14\\1550&5&15\end{array}\right]$

O determinante dessa matriz aplicando a regra de Sarrus será:

det(DA) = -8750

A matriz de B será:

$DB=1000\cdot\left[\begin{array}{ccc}10&1970&16\\12&1930&14\\10&1550&15\end{array}\right]$

O determinante dessa matriz aplicando a regra de Sarrus será:

det(DB) = -17500

A matriz de C será:

$DC=1000\cdot\left[\begin{array}{ccc}10&12&1970\\12&13&1930\\10&5&1550\end{array}\right]$

O determinante dessa matriz aplicando a regra de Sarrus será:

det(DC) = -24500

Os preços unitários são:

A = DA/D = -8750/-350 = R$25

B = DB/D = -17500/-350 = R$50

C = DC/D = -24500/-350 = R$70

A solução do sistema é S = {25, 50, 70}.

e) Se a quantidade vendida de cada produto fosse 8.000, o valor da venda seria:

8.000·A + 8.000·B + 8.000·C

8.000·25 + 8.000·50 + 8.000·70 = R$1.160.000